专题07 圆锥曲线新定义问题（教师版）.docx

专题01集合新定义问题

解决圆锥曲线的新定义问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答

题型一新定义图形

【例1】阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（????）

A．B．C． D．

【解析】根据题意，可知点在抛物线的准线上，又点在直线上，

所以，又，所以，

因为，所以，所以直线的方程为，即.故选：A.

【跟踪训练】

椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（????）

A． B． C． D．

【解析】设为椭圆的半焦距，由题意可得，由对称性可设,

则,因为，所以,

所以,即,解得或（舍）.故选:B.

题型二新定义曲线

【例2】中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（????）

A．曲线的图象关于原点对称

B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

【解析】把代入得，

所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；

令解得，或，即曲线经过，结合图象，，

令，得，令，得，

因此结合图象曲线只能经过3个整点，，故B错误；

可得，

所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故C正确；

直线与曲线一定有公共点，

若直线与曲线只有一个交点，

所以，整理得无解，

即，解得，故D正确.

故选：ACD.

【跟踪训练】

在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是

【解析】曲线的渐近线方程为：，设渐近线与圆的交点分别为,如下图：则曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧

由题意，所以，所以,则，

题型三新定义方法

【例3】古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C的面积为，分别是椭圆C的两个焦点，过的直线交椭圆C于A，B两点，若的周长为8，则椭圆C的离心率为．

【解析】由题意可知：，解得，，又，∴，∴.

【跟踪训练】定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为.

【解析】如图，，

要使最小，则最大，即需最小.

设，则，

∴当，即时，，，

此时或，

1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，

对于A，，即，A是“对偶椭圆”；

对于B，，即，B不是“对偶椭圆”；

对于C，，即，C不是“对偶椭圆”；

对于D，，即，D不是“对偶椭圆”，故选A

2.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（????）

??

A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为

C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18

【答案】D

【解析】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；

当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；

设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．

故选：D．

3.某数学爱好者以函数图像组合如图“爱心”献给在抗疫一线的