随机过程习题课件.pptVIP

*************************************习题：求解连续时间马尔可夫链的稳态分布习题：考虑一个三态连续时间马尔可夫链，其转移速率矩阵为：Q=[-3214-5123-5](a)验证该马尔可夫链是不可约的。(b)求解其稳态分布π=(π?,π?,π?)。(c)如果系统初始状态为1，求t=2时刻系统处于状态2的概率p??(2)。(d)计算系统从状态1出发，在到达状态3之前先到达状态2的概率。解题提示：对于(a)，检查是否从任一状态可以到达任何其他状态；对于(b)，求解方程组πQ=0和Σπ?=1；对于(c)，可以使用矩阵指数方法；对于(d)，可以考虑修改原始过程，使状态2和状态3成为吸收态。马尔可夫跳跃过程马尔可夫跳跃过程是一类重要的连续时间随机过程，结合了离散状态空间和连续时间演化。在这种过程中，系统在随机时间点发生跳跃，改变其状态；而在跳跃之间，系统可能保持状态不变或按照确定性规则演化。形式上，马尔可夫跳跃过程{X(t),t≥0}可以通过两个组成部分描述：一个嵌入的离散时间马尔可夫链{Y_n,n≥0}，描述系统在跳跃时刻的状态转移；以及一个相关的跳跃时间序列{T_n,n≥0}，描述连续跳跃之间的时间间隔。对于标准马尔可夫跳跃过程，这些时间间隔通常服从指数分布，参数可能依赖于当前状态。马尔可夫跳跃过程广泛应用于通信网络、制造系统、生物系统建模和金融市场等领域。例如，在金融中，它可用于描述资产价格的不连续变动；在可靠性分析中，用于建模系统在不同工作状态之间的转换。习题：马尔可夫跳跃过程的样本路径分析样本路径特征识别分析马尔可夫跳跃过程的路径特性和统计规律2状态转移概率计算求解系统在特定时间区间内状态转换的概率首达时间期望求解计算系统首次到达目标状态的平均时间习题1：考虑一个两态马尔可夫跳跃过程{X(t),t≥0}，状态空间为{0,1}。从状态0到状态1的转移率为α，从状态1到状态0的转移率为β。假设X(0)=0。求解t时刻系统处于状态1的概率P(X(t)=1)。计算系统第一次从状态0跳转到状态1的时间T的期望和方差。如果定义Y(t)为时间区间[0,t]内系统处于状态1的总时间，求E[Y(t)]和Var[Y(t)]。习题2：某通信系统的工作状态可以通过马尔可夫跳跃过程{X(t),t≥0}建模，其状态空间为{0,1,2}，表示正常工作(0)、部分故障(1)和完全故障(2)。转移速率为q??=0.1,q??=0.05,q??=0.2,q??=0.1,q??=0,q??=0.3（单位：每小时）。绘制该马尔可夫跳跃过程的状态转移图。求解该系统的稳态分布。若系统初始处于状态0，计算8小时内系统至少发生一次完全故障的概率。第七章：鞅理论基本定义鞅是一类特殊的随机过程{X_n,n≥0}，满足条件E[X_{n+1}|X_1,...,X_n]=X_n。直观上，这意味着基于当前所有信息，过程未来的期望值等于当前值——一种公平博弈的数学表示。鞅的定义依赖于信息结构（即σ-代数序列），完整表述为：适应于滤子{F_n}的随机过程{X_n}是鞅，如果E[|X_n|]∞且E[X_{n+1}|F_n]=X_n。次鞅与上鞅鞅的概念可以推广为次鞅和上鞅。次鞅满足E[X_{n+1}|F_n]≥X_n，表示有利博弈，期望值不减；上鞅满足E[X_{n+1}|F_n]≤X_n，表示不利博弈，期望值不增。这些概念在金融和博弈理论中有重要应用，分别对应于不同的市场和博弈条件。鞅变换给定鞅{X_n}和预先可测的过程{H_n}，定义鞅变换为(H·X)_n=Σ_{i=1}^nH_i(X_i-X_{i-1})。这种构造保持了鞅性质，即{(H·X)_n}仍然是鞅。鞅变换为构造新的鞅提供了强大工具，尤其在金融数学中，可以解释为交易策略产生的累计收益。条件期望条件期望是鞅理论的核心概念。对于任意随机变量Y和滤子{F_n}，定义M_n=E[Y|F_n]，则{M_n}是鞅。这一结果通常称为条件期望鞅，它将任意（有限二阶矩的）随机变量链接到鞅，极大扩展了鞅理论的应用范围，从常规鞅推广到更一般的随机过程。停时定理停时概念停时T是一个取非负整数或∞值的随机变量，满足对每个n≥0，事件{T=n}仅依赖于F_n（即至多观察到X_0,...,X_n就能判断是否T=n）。直观上，停时代表某种停止规则——基于已观察到的过程决定何时停止，而不能利用未来信息。常见的停时包括首达时间（首次到达某集合的时间）和有限常数时间。可选停时定理可选停时定理是鞅理论的核心结果之一，它指出：