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北京市第四中学自主招生考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知，则锐角的取值范围是()

A．

B．

C．

D．

(★★)2.实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）

A．小于或等于3的实数

B．小于3的实数

C．小于或等于﹣3的实数

D．小于﹣3的实数

(★★)3.是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（）

A．

B．或

C．

D．或1

(★★★)4.代数式的最小值为（）

A．12

B．13

C．14

D．11

(★★)5.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)6.1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）

A．223300

B．333300

C．443300

D．433300

二、填空题

(★★★★)7.多项式可分解为______．

(★★★★)8.已知点P(x，y)位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是____.

(★★)9.已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数是_________．

(★★★)10.方程的较大根为，方程的较小根为，则______．

(★★★★)11.已知，则的算术平方根是________________．

(★★★)12.如图，在Rt?ABC中，已知∠BCA=90o，∠BAC=30o，AB=6cm．把?ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是________cm2．

三、解答题

(★★★★)13.现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：

(1)两面涂有红色的小正方体的个数；

(2)任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；

(3)若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．

(★★★)14.已知均为实数，且满足，求代数式的值．

(★★★)15.在中，，直角边与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为．若抛物线的顶点为A，

(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向．

(2)用k表示点B的坐标．

(3)当k取何值时，？

(★★★★)16.如图，和是的半径，且．P是上的任意一点，的延长线交于点Q，点R在的延长线上，且．

(1)求证：是的切线．

(2)求证：．

(3)当时，试确定的取值范围．

(★★★★)17.平面上有n个点（为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有个内角不大于．