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现代数字信号处理习题

1.设()un是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w0S≥。

证明：将()un通过冲激响应为()hn的LTI离散时间系统，设其频率响应()wH为

()001,w-ww0,

w-ww

Hw

=?

输出随机过程()yn的功率谱为()()()2ySwHwSw=

输出随机过程()yn的平均功率为()()()00201

1r022ww

yywwSwdwSwdwπ

π

π+?-?=

=??

当频率宽度w0→时，上式可表⽰为()()()01

r00ySwwπ

=?≥

由于频率0w是任意的，所以有()w0

S≥

3、已知：状态⽅程)()1,()1()1,()(1nnnnxnnFnxν-Γ+--=观测⽅程

)()()()(2nnxnCnzν+=)()]()([111nQnnEH=νν)()]()([222nQnnEH

=νν滤波初值)]0([)|0(0xEx=ξ

}

)]]0([)0()]][0([)0({[)0(HxExxExEP--=

请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。解：步骤1状态⼀步预测，即

1

*11)|1(?)1,()|(NnnCnxnnFnx∈--=--∧

ξξ

步骤2由观测信号z(n)计算新息过程，即

1*11)|(?)()()|(?)()(MnnCnxnCnznz

nzn∈-=-=--ξξα

步骤3⼀步预测误差⾃相关矩阵

N

NHHCnnnQnnnnFnPnnFnnP*1)1,()1()1,()

1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+=-

步骤4新息过程⾃相关矩阵M

MHCnQnCnnPnCnA*2)()()1,()()(∈+-=步骤5卡尔曼增益M

NHCnAnCnnPnK*1)()()1,()(∈-=-或

)()()()(1

2nQnCnPnKH

-=步骤6状态估计

1*1)()()|(?)|(?NnnCnnKnxnx

∈+=-αξξ

步骤7状态估计⾃相关矩阵N

NCnnPnCnKInP*)1,()]()([)(∈--=或

)()()()]()()[1,()]()([)(2nKnQnKnCnKInnPnCnKInPH

H+=步骤8重复步骤1-7，进⾏递推滤波计算4、经典谱估计⽅法：

直接法：⼜称为周期图法，它把随机序列x(n)的N个观测数据视为⼀能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅⾥叶变换，得到

X(k),然后再取其幅值的平⽅，并除以N，作为序列x(n)的真实功率普估计

⾃相关法：1949年，Tukey根据Wiener—Khintchine定理提出了对有限长数据进⾏谱估计的⾃相关法，即利⽤有限长数据估

计⾃相关函数，再对该⾃相关函数球傅⽴叶变换，从⽽得到谱的估计。1958年，Blackman和Tukey在出版的有关经典谱估计

的专著中讨论了⾃相关谱估计法，所以⾃相关法⼜叫BT法。

5、假定输⼊信号{x(t)}是⼀个零均值的⾼斯⽩噪声，其功率谱为0)(NfPx=，且线性系统

的冲激响应为??

=-else

tetht,00,)(求输出y(t)=x(t)*h(t)的功率谱及协⽅差函数。解：由题知，系统的传递函数为

∞

∞

-∞

+=

==0

22211

)()(f

jdteedte

thfHftjtft

jπππ

有此得2

22

411

211211)()()

(f

fjfjfHfHfHπππ+=

-+=

-=

由输出功率谱与输⼊功率谱、系统函数之间的关系，得

2

20

2

41)()()(f

NfPfHfPxyπ+=

=输出的协⽅差函数为功率谱的傅⾥叶反变换，故有

ττ

πτ

ππτ-∞

∞

-∞

∞-=+=

=

eNdfef

jNdfe

fPCfjfjxy241)()(0222026、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此⽅法的具体步骤。

答：（1）相关图法⼜称BT法，BT谱估