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5.2定积分的性质
说明:在下面的性质中,假设所涉及的函数都是
可积分的.
bbb
性质5.1[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx.
aaa
bb
性质5.2akf(x)dxkaf(x)dx,(k为常数).
性质5.1和性质5.2称为定积分的线性性质
性质5.3(积分区间的可加性)设acb,则
bcb
f(x)dxf(x)dx+f(x)dx
aac
补充:无论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.
例若abc,
cbc
f(x)dxf(x)dx+f(x)dx
aab
bcc
则af(x)dxaf(x)dx−bf(x)dx
cb
af(x)dx+cf(x)dx
bb
性质5.4a1dxadxb−a.
性质5.5如果在区间[a,b]上f(x)0,
b
则af(x)dx0.(ab)
推论5.1(定积分的保序性)
如果在区间[a,b]上f(x)g(x),
bb
则f(x)dxg(x)dx.(ab)
aa
bb
推论5.2af(x)dxaf(x)dx.(ab)
证−ff((xx)f(x)f(x)
bbb
−f(x)dxf(x)dxf(x)dx
aaa
bb
即a
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