冲刺2025高考数学 抢分秘籍排列与组合（十五大题型）（含答案解析）新高考专用.docxVIP

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排列与组合

目录

【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】排列数与组合数的推导、化简和计算

【题型二】数字排列

【题型三】几何问题

【题型四】捆绑法

【题型五】插空法

【题型六】定序问题（先选后排）

【题型七】列举法

【题型八】多面手问题

【题型九】错位排列

【题型十】涂色问题

【题型十一】分组问题

【题型十二】分配问题

【题型十三】隔板法

【题型十四】分解法模型与最短路径问题

【题型十五】环排问题

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：对两个计数原理理解混乱

：排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所以需要考生对于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌握题型的基础上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。

：根据高考回归课本的趋势，排列数与组合数的运算以及术与式的归纳理解要求要相继变高，而这块内容也是因为传统的固定题型容易被学生忽略的知识点，需要重视起来。

【题型一】排列数与组合数的推导、化简和计算

【例1】已知为正整数，若，则．

【答案】3或7

【分析】根据组合数的定义和性质分析求解即可.

【详解】因为，则，解得，

由组合数性质可知：或，解得或．

故答案为：3或7.

【例2】排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用组合数的定义和排列数的定义可A、B；利用组合数的递推关系式?可证明C正确；从组合数的意义角度看，都表示是两个各有个元素的集合和中选取总共个元素的方式数，由此得D正确.

【详解】对于A，因为，故A不正确；

对于B，因为，故B正确；

对于C，因为，故C正确；

对于D，考虑从两个各有个元素的集合和中选取总共个元素的方式数，总的选取方式数是.另一方面，我们可以将选取过程分为不同的情况，即从集合中选取个元素，从集合中选取个元素，其中从0到，对于每个，选取的方式数是.由于?，所以每种情况的方式数是，因此，总的选取方式数可以表示为：，由于这两种方法计算的是同一个选取过程的方式数，所以它们相等：，故D正确.

故选：BCD.

【变式1】已知，则（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据排列与组合公式计算求解即可.

【详解】由，则，

则，即.

故选：D

【变式2】（1）已知，求n．

（2）．

【答案】（1）6；（2）252

【分析】（1）利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将化简并展开，解方程即可求得答案.

（2）法一：利用组合数的性质求解；法二：直接计算，求和.

【详解】（1）由得，

即，即，

解得，或，

又由知，即，

故.

（2）法一：

.

法二：原式.

【题型二】数字排列

【例1】用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（????）

A．120个 B．72个 C．60个 D．48个

【答案】D

【分析】根据分步乘法原理，先安排个位数字，再安排余下的4个位置.

【详解】根据题意，先安排个位数字，在3和5中选一个共有种，

再安排余下的4个位置，有种，

所以组成无重复数字的五位数，不同的奇数共有种.

故选：D.

【例2】设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为.

【答案】40

【分析】根据给定条件，利用“峰型三位数”是否含有数字0分类，结合排列、组合计数问题列式计算即得.

【详解】①若“峰型三位数”由三个不同的数字组成：

当“峰型三位数”含有数字0时，0必为个位，再从余下5个数字中任取两个，大的数字为十位，有种方法；

当“峰型三位数”没有数字0时，从除0外的5个数字中任取3个，最大数字作十位，有种方法，

此时，“峰型三位数”的个数为；

②若“峰型三位数”由两个不同的数字组成，则一定不包含0，此时共有种方法；

综上，“峰型三位数”的个数为.

故答案为：40

【变式1】设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为．

【答案】137

【分析】三位数中的5的倍数分个位是0和个位是5讨论即可.

【详解】由题意知，集合中且至多只有一个元素不是5的倍数，其余均是5的倍数．

首先讨论三位数中的5的倍数，

①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；

②当个位为5时，则百位有个数字可选，