2025届高中数学微专题22恒成立问题__参变分离法练习含解析.docVIP

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微专题22恒成立问题——参变分别法

一、基础学问：

1、参变分别：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围

2、如何确定变量与参数：一般状况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。

3、参变分别法的适用范围：推断恒成立问题是否可以采纳参变分别法，可遵循以下两点原则：

（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分别，假如仅通过几步简洁变换即可达到分别目的，则参变分别法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分别的情形，此时要考虑其他方法。例如：，等

（2）要看参变分别后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于困难而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分别法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）

4、参变分别后会出现的状况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）

（1）若的值域为

①，则只须要

，则只须要

②，则只须要

，则只须要

③，则只须要

，则只须要

④，则只须要

，则只须要

（2）若的值域为

①，则只须要

，则只须要（留意与（1）中对应状况进行对比）

②，则只须要

，则只须要（留意与（1）中对应状况进行对比）

③，则只须要（留意与（1）中对应状况进行对比）

，则只须要

④，则只须要（留意与（1）中对应状况进行对比）

，则只须要

5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先视察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理

（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分别。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

（2）将参数与变量进行分别，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。

二、典型例题：

例1：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______

思路：首先转化不等式，，即恒成立，视察不等式与便于分别，考虑利用参变分别法，使分居不等式两侧，，若不等式恒成立，只需，令（解析式可看做关于的二次函数，故配方求最值），所以

答案：

例2：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________

思路：恒成立的不等式为，便于参数分别，所以考虑尝试参变分别法

解：，其中

只须要，令

（导函数无法干脆确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值）

，，（推断单调性时肯定要先看定义域，有可能会简化推断的过程）

在单调递减，在单调递减

答案：

小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法干脆推断符号时，可依据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。

例3：若对随意，不等式恒成立，则实数的范围是．

思路：在本题中关于的项仅有一项，便于进行参变分别，但由于,则分别参数时要对的符号进行探讨，并且利用的符号的探讨也可把肯定值去掉，进而得到的范围，，当时，，而；当时，不等式恒成立；当时，，而

综上所述：

答案：

小炼有话说：（1）不等式含有肯定值时，可对肯定值内部的符号进行分类探讨，进而去掉肯定值，在本题中对进行符号探讨一箭双雕：一是去掉了肯定值，二是参变分别时确定不等号的是否变号。

（2）在求解析式最值时依据式子特点奇妙运用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。

（3）留意最终确定的范围时是三部分取交集，因为是对的取值范围进行的探讨，而无论取何值，的值都要保证不等式恒成立，即要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。

例4：设函数，对随意的恒成立，则实数的取值范围是________________

思路：先将不等式进行化简可得：，即，便于进行分别，考虑不等式两边同时除以，可得：

，，

最小值，即解得：

答案：

小炼有话说：本题不等式看似困难，化简后参变分别还是比较简洁的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的方法，因为二次项系数为关于的表达式且过于困难，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要留意视察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择

例5：若不等式对恒成立，则