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2024年同济大学数学强基真题高清版含答案或解析

由于我无法访问2024年的具体考试内容，以下是根据高考试题难度和同济大学数学强基计划的风格，模拟的一份2024年同济大学数学强基真题及详细解析。

一、选择题（每题15分，共75分）

1.设函数\(f(x)=e^x2x\)，则方程\(f(x)=0\)在区间\((0,+\infty)\)内有（）

A.一个实根

B.两个实根

C.无实根

D.不能确定

解析：首先求导数\(f(x)=e^x2\)。令\(f(x)=0\)，得\(x=\ln2\)。当\(x\ln2\)时，\(f(x)0\)，函数单调递减；当\(x\ln2\)时，\(f(x)0\)，函数单调递增。又因为\(f(0)=1\)，\(f(\ln2)=\ln20\)，所以方程在\((0,+\infty)\)内有一个实根。选A。

2.设矩阵\(A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，则\(A\)的特征值之和为（）

A.3

B.5

C.7

D.9

解析：矩阵\(A\)的特征多项式为\(\lambda^25\lambda+6=0\)，解得特征值\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=3\)，所以特征值之和为\(2+3=5\)。选B。

3.设\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)为等差数列，公差为\(d\)，则\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)是（）

A.等差数列

B.等比数列

C.二次函数

D.一次函数

解析：\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1\frac{d}{2})n\)，这是一个关于\(n\)的二次函数。选C。

二、填空题（每题15分，共75分）

4.设函数\(f(x)=x^33x+1\)，则\(f(x)\)的极值点为________。

解析：求导数\(f(x)=3x^23\)，令\(f(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。当\(x1\)或\(x1\)时，\(f(x)0\)，函数单调递增；当\(1x1\)时，\(f(x)0\)，函数单调递减。所以\(x=1\)为极大值点，\(x=1\)为极小值点。答案：1，1。

5.设\(A\)为三阶矩阵，且\(|A|=2\)，则\(|A^{1}|=\)________。

解析：由矩阵的性质知，\(|A^{1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{2}\)。答案：\(\frac{1}{2}\)。

6.设\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)为等差数列，公差为\(d\)，且\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d=120\)，若\(a_1=2\)，则\(d=\)________。

解析：代入\(S_n\)的表达式，得\(120=2n+\frac{n(n1)}{2}d\)。解方程得\(d=4\)。答案：4。

三、解答题（每题25分，共100分）

7.已知函数\(f(x)=x^33x^2+4\)，求\(f(x)\)的单调区间。

解析：求导数\(f(x)=3x^26x\)，令\(f(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x0\)或\(x2\)时，\(f(x)0\)，函数单调递增；当\(0x2\)时，\(f(x)0\)，函数单调递减。所以\(f(x)\)的单调递增区间为\((\infty,0)\cup(2,+\infty)\)，单调递减区间为\((0,2)\)。

8.设\(A\)为三阶矩阵，\(B\)为二阶矩阵，且\(|A|=3\)，\(|B|=2\)，求\(|AB|\)。

解析：由矩阵行列式的性质，\(|AB|=|A||B|=3\times2=6\)。

9.设\(a_1,a_2