华东师大04-06年数学分析考研试题及解答.docVIP

华东师范大学2004年数学分析考研试题

一.（30分）计算题

（1）求；

（2）若求.

（3）求.

（4）求幂级数的和函数.

（5）L为过和的曲线，

求:

（6）求曲面积分

其中取上侧.

二（30分）判别题（正确的证明，错误的举反例）

1.若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点

2.若在上连续有界，则在上一致连续.

3.若在上可积，则:

4.若收敛，则收敛.

5.若在上定义的函数存在偏导数，

且在上连续，则在上可微.

6.在上连续，

，

若

则.

三.（15分）函数在上连续且，

求证：在上有最大值或最小值.

四（15分）求证不等式：

五（15分）设在上连续且在上一致收敛于,若,求证：

使

六（15分）设是实数序列，且满足：

（1）其中；

（2）级数收敛。

求证：.

七（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界.

八（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面

恒有:

求证：

华东师范大学2004数学分析考研试题及解答

一、（30分）计算题。

1、求

解：

2、若求.

解：

3、求.

解：

=--=

4、求幂级数的和函数.

解:时

=+

=-=

5、为过和的曲线,求

=+++

=

6、求曲面积分,其中,取上侧.

解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：

=

=.

二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）

1、若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点

正确。在数轴上对应的点集必有界无限的子点集，故由聚点定理，点集至少存在一个聚点

2、若在上连续有界，则在上一致连续.

解错误.反例在上连续,且有界,但在上不一致连续.

3、若,在上可积，则.

解正确。

证：,在上可积，故对且在上也可积，

,

故,

.

4、若收敛，则收敛.

解错误。反例收敛,但发散.

5、若在上定义的函数存在偏导数,,且,在(0,0)上连续，则在(0,0)上可微.

解正确.书上的定理

证：

=

=

有,在(0,0)上连续，

,

当时，，

根据定义，可知在(0,0)上可微.

6、在上连续,,

若则

解：正确.

用反证法,假若存在一点,使得,不妨设,

则存在,使得在上有,

于是,矛盾.

三、（15分）函数在上连续，且求证：在上有最大值或最小值。

证：1)若，显然在同时有最大、最小值.

2)设不为常数,则,

使得或,

当时,

由函数在上连续，且知在上有界,

当时,在上,

再由存在,当时,有,

所以,

由在上连续,所以在上连续，由最值定理知存在,使得最大.

同理当时,在上有最小值。

结论得证.

四、（15分）求证不等式:

证：令,则,对,有

,

因此在上单调递减且连续,又

.

故由介值定理知存在,使得

那么在上单调递增,在上单调递减.

因此可在端点处取得最小值,又.

所以在上

,即

五、设,在上连续,且在上一致收敛于.

若,.求证:使,,

证:由函数列的每一项在连续且一致收敛于,可知在上也连续,因此有界.不妨设,

因为对任意,有.所以

在上一致收敛于,即对对有

当取时,有

对上述则(1)式成立,且

六、（15分）设是实数序列，且满足：

（1）其中；

（2）级数收敛.

求证:.

证：由假设条件，对正整数，

成立，

，

……………….

,

将上列诸不等式相加，得

，

由于级数收敛，所以

，

同样，

于是

故有。

七、（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界.

证:由函数在上一致连续，

对,,对,且满足时,有

,

特别有,

于是

,()

对任意,存在,使得,

,

故有,

即得在上有界.

八、（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面

恒有,

求证:,有

证明记

在中,

令,则有,于是

进而,

在中,令,则有,

故,有

华东师范大学2005年攻读硕士学位研究生入学试题

一（24分）判断下列命题的真伪（正确就证明，错误举反例）

1.的一个充要条件是：存在正整数N，对于任意正数，当时均有.

2.设在上连续，在上一致连续，那么在上一致连续.

3.设那么正项级数收敛.

4.在点沿任意方向的方向导数都存在，则函数在点连续.

二（64分）计算下列各题。

1.