2025年中学自主招生全真模拟试卷及答案解析附带答题卡.docVIP

自主招生模拟试卷（数学卷）

題号

一

二

三

总分

得分

一、选择題（共7題，每題5分，共35分）

1．二次函数的图像如右图所示，则化简二次根式

的成果是（）

A．a+bB．-a-bC．a-b+2cD．-a+b-2c

2.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。

每队的4项比赛得分之和算作总分，假如已知各队的总分不相似，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分至少的队伍最多得多少分？（）

A．7B．8C．9D．10

3．已知a是方程的一种实数根，则直线不通过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．有一种長方体集装箱，其内空長為5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运長為

5米，横截面的外圆直径為0.8米的圆柱形钢管，最多能运（）根。

A．20根B．21根C．24根D．25根

5．将5个相似的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一种球，则3个空格相连的概

率是（）

A．B．C．D．

6．用[x]表达不不小于x的最大整数，则方程的解的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

对每个x，y是,三个值中的最小值，则当x变化時，函数y的最大值是（）

A．4B．6C．8D．

二、填空題（共7題，每題5分，共35分）

8.已知，且a≠0,则=。

9．G是△ABC的重心，过G的直线交AB于M，交AC于N，

则=。

10.已知a、b、c都是实数，且满足abc,a+b+c=0.那么，的取值范围是。

11.在△ABC中，AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC提成两个等腰三角形，

则各内角的度数為。

12．对于一切不不不小于2的自然数n，有关x的一元二次方程的两个根记

作(n≥2),则…=。

13.设抛物线的图象与x轴只有一种交点，

则=。

14.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边長為2，则线段DH長度的最小值是．

解答題（本題有4小題，共60分）

15.（10分）试求实数（≠1），使得方程

的两根都是正整数。

16.（12分）如图1,矩形铁片ABCD的長為,宽為;為了要让铁片能穿过直径為的圆孔,需对铁片进行处理(规定铁片与圆孔有接触時铁片不能穿过圆孔);

(1)如图2,M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点,若将矩形铁片的四个角去掉,

只余下四边形MNPQ,则此時铁片的形状是_______________,給出证明,并通过计

算阐明此時铁片都能穿过圆孔;

(2)如图3,过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F(不与端点重叠),

沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片;

①当BE=DF=時,判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔,并阐明理由;

②為了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔,請直接写出线段BE的長度的取值范围

图2

图2

图1

图3

17.（14分）喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了爱好，他想：75度虽然不是特殊角，

但和特殊角有着亲密的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢？经研

究，他发現：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆

猜测：（為锐角）。将图1（a）等积变形為

图1（b）可用于勾股定理的证明，現将这两幅图分别“压扁”成图2（a）和图2（b）。

如图,锐角為的直角三角形斜边為m，锐角為的直角三角形斜边為n，請你借助

图2（a）和图2（b）证明上述結论能成立。

18.（14分）已知菱形ABCD的边長為1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发現：