2025版新教材高中数学第五章三角函数加练课5三角函数化简与求值的解题技巧学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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加练课5三角函数化简与求值的解题技巧

学习目标

1.进一步驾驭三角函数定义的应用.

2.进一步驾驭同角三角函数的基本关系的应用.

3.进一步驾驭诱导公式的应用.

自主检测·必备学问

一、概念辨析，推断正误

1.sin(π+α)=-

2.终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)

3.若sin(kπ-α)=

4.对随意角α,sin

二、夯实基础，自我检测

5.已知sin?40°

A.aB.-a

C.1-a2

答案：B

6.（2024四川成都树德中学高一检测）已知角α的终边过点P(8?cos?60

A.45B.35C.3

答案：C

7.（2024北京师范高校遵义附属学校高一检测）tan8?

A.33B.-33C.

答案：D

8.sinα=55

答案：-

解析：因为sinα=

所以cos

所以sin2

9.若sin(π+α)+

答案：-

解析：因为sin(

所以-sin

所以sinα=m

互动探究·关键实力

探究点一用三角函数的定义求值

精讲精练

例1已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若P(4,y)是角θ的终边上一点，O为坐标原点，且sinθ=-25

答案：-8

解析：r=x2+y2

易知θ为第四象限角，所以y=-8.

例2利用三角函数的定义求2?π

答案：如图所示，设2?π3的终边与单位圆的交点为P，过P作PB⊥x轴于点

在△OPB中，|OP|=1,∠POB=π3，则|PB|=32,|OB|=12，则P(-

解题感悟

给出角α的终边上除原点处随意一点的坐标，利用定义可求出角α的三角函数值.

迁移应用

1.若角α的终边在直线y=3x上，且sinα＜0，又P(m,n)是角α的终边上一点，O为坐标原点，且|OP|=10，求

答案：因为sinα＜0，且角α的终边在直线y=3x上，所以角α

又因为P(m,n)为角α的终边上一点，所以m＜0,n＜0.

又因为n=3m,n2

所以sinα=

cosα=

tanα=

探究点二利用同角三角函数的基本关系求值

精讲精练

类型1用公式求值

例1（1）若sinα=-513，且α

A.125B.

C.512D.

（2）已知α为其次象限角，则cosα?

答案：（1）D（2）0

解析：（1）因为α为第四象限角，

所以cosα=

所以tanα=

（2）原式=cos

因为α是其次象限角，所以sinα＞0,

所以cosα?

解题感悟

利用sin2α+cos2α=1可实现α

类型2齐次式问题

例2（1）已知tanα=-12

（2）已知sinα+3?cosα

答案：（1）43（2）

解析：（1）因为tanα=-12

（2）依题意得tanα+33-tan

所以sin2

解题感悟

关于sinα，cosα的齐次式问题，一般化为关于

类型3利用sinα±cosα，sinαcosα之间的关系求值

例3若△ABC的内角A满意sin?Acos?A=

A.153B.-153C.

答案：A

解析：因为A为△ABC的内角，且sin?Acos?A=

所以sin?A+cos?A＞0

所以sin?A+

解题感悟

已知sinθ+

迁移应用

1.已知α是第四象限角，cosα=1213

A.513B.-513C.

答案：B

2.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos

A.23B.-23C.

答案：A

解析：由sin4θ+

所以sin2

因为θ是第三象限角，所以sinθ＜0,cosθ＜0

3.1-2?sin

答案：1

4.已知tanα=-

（1）sinα-4?

（2）1cos

（3）sin2

答案：（1）sinα-4?

（2）1cos

（3）sin2

探究点三用诱导公式求值

精讲精练

类型1诱导公式的干脆应用

例1（1）sin(-

（2）已知f(α)=sin(π

答案：（1）2

解析：（1）原式=-sin

答案：（2）f(α)=sin

所以f(31?

解题感悟

诱导公式是三角变换的基本公式，应用时要留意整体把握，敏捷变通.

（1）公式一的作用在于把肯定值大于2π的任一角的三角函数问题转化为肯定值小于2π的角的三角函数问题.

（2）公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数.

（3）公式二、四的作用在于把钝角或大于180??°的角的三角函数转化为

（3）公式五、六的作用在于把π2±α角的三角函数转化为角α的三角函数

类型2“整体代换”的应用

例2已知cos(π6

答案：-

解析：因为cos(

sin

所以cos(

解题感悟

在分析数学问题时，运用常规思索方法，解题过程可能会显得特别困难，同时运算