2024-2025学年上海市松江区高三上册开学摸底考数学检测试卷合集2套（含解析）.docx

2024-2025学年上海市松江区高三上学期开学摸底考数学检测试卷

（一）

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．

1．若集合，则______．

2．不等式的解集为______．

3．若（为虚数单位），则的共轭复数为______．

4．若角的终边经过点，则______．

5．某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表．已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率______．

6．若的二项展开式中的系数是，则实数______．

7．已知圆，则圆心到直线的最大距离为______．

8．设当时，函数取得最大值，则______．

9．已知为函数图像上的任意一点，则的最大值为______．

11．已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为______．

12．定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为______．

12．若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是______．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．“”是“”成立的（）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要

14．若甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）

A．6种 B．12种 C．24种 D．30种

15．已知正方体的棱长为1，线段上有两个动点，若，则下列结论中错误的是（）

A． B．平面

C．异面直线所成的角为定值 D．三棱锥的体积为定值

16．我们知道，互相垂足且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为．在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为．若是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离为（）

A．

B．

C．

D．

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

如图，已知正方体的棱长为．

（1）求直线和平面所成角的大小；

（2）求二面角的大小．

18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

已知，曲线在点处的切线斜率为2．

（1）求的值；

（2）求不等式的解集．

19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

在课后2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，所及选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数

不喜欢奥数

总计

已选奥数课（A组）

150

50

200

未选奥数课（B组）

90

110

200

总计

240

160

400

（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？

（2）能否有99．5%的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？

附：

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

参考公式：，其中．

20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

在平面直角坐标系中，已知双曲线．

（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线交于两点，若与圆相切，求证：；

（3）设椭圆，若分别是上的动点，且，求证：到直线的距离是定值．

21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．

（1）求；

（2）求数列的前项和；

（3）记，求证：．

开学考数学答案

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．

1．【正确答案】

．

2．【正确答案】

，或．

3．【正确答案】

，则的共轭复数为．

4．【正确答案】

．

5．【正确答案】

设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到