浙江省杭州市金丽衢十二校2024-2025学年高三下学期(3月)第二次联考 数学试题（含解析）.docx

金丽衢十二校2024学年高三第二次联考

数学试题

本卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟，试卷总分为150分，请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合.

【详解】因为，，

则.

故选：B.

2.已知向量，，，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可.

【详解】因为向量，，则，

所以，解得.

故选：C.

3.已知复数满足，则为（）

A. B.1 C. D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由条件，结合复数除法法则求的代数形式，再由复数的模的公式求结论.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：C.

4.若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由条件确定圆锥的底面半径和高，在利用圆锥的体积公式求结论.

【详解】因为圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，

所以圆锥的底面半径，高，

所以圆锥的体积.

故选：A.

5.已知函数，则（）

A. B. C.1 D.e

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式求，再求即可.

【详解】因为函数，

所以，

所以.

故选：B.

6.已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设直线的交点为，过直线上异于点的一点作平面的垂线，设垂足为，过点作，垂足为，连接，由已知可得，，

根据平面与平面夹角定义可得由确定的平面与平面夹角为，解三角形求夹角大小.

【详解】设直线的交点为，过直线上异于点的一点作平面的垂线，设垂足为，过点作，垂足为，连接，如图：

因为，所以为直线在平面内的投影，

所以直线与平面所成角为，

由已知，，

因为，，

所以，又，，平面，

所以直线平面，又平面，

所以，即，

所以由确定的平面与平面夹角为,

在中，，

在中，，即，

在中，，即，

所以，

又，，

所以，所以，

又，所以，

所以由确定的平面与平面夹角的大小为.

故选：B

7.设抛物线焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法根据关系可求，再求，，，根据余弦定理求结论.

【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，

设直线的方程为，

联立，消可得，

方程的判别式，故，

设，，不妨设，

由已知为方程的根，

所以，，

设点，在准线上的投影分别为，，

因为，所以，

故，所以，

即为方程的根，

故，，

所以，，

又，

由余弦定理，.

故选：B.

8.在中，“”是“为直角”的（）

A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件

C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】对于必要性，假设??是直角，利用诱导公式将等式转化为关于一个角的三角函数的关系，利用同角三角函数的平方关系可证等式成立，从而证明了必要性；对于非充分性，构造函数,其中.利用导数研究单调性和极值，发现当角足够小时是存在3个零点，每个零点都可以作为角的值，所以的值有三个，存在不是直角的情况，从而否定充分性..

【详解】第一步：检验必要性.

如果??是直角，那么?.

此时，等式?可变为，这是成立的，

因此，如果?是直角，等式??成立；

第二步：验证充分性.

若，

构造函数,其中.

则

,

记以,则，

因为,所以,,

令,得,

令,解得,

列表如下：

0

减

增

减

增

,,

,

当时，，故存在使得，

而，且，从而函数在上有3个零点，

每个零点都可以作为角的值，

所以的值有三个，存在不是直角的情况，

即存在角不是直角的情况，所以充分性不成立.

综上所述，“”是“为直角”必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】思路点睛：本题中非充分性的检验问题，一开始尝试证明充分性，发现不能给出证明，于是开始时尝试举反例来进行逻辑否定，例子常常很难找到，通常可以计算的例子都不会成功的否定，需要极端情况下才能找到适合的例子,这里利用构造函数，利用导数探求是否有多余1个的零点，从而说明原等式对于给定得角,除了它的余角满足等式，探索是否其它得角满足，从而确定是否必须是使得角为直角.

二、选择题（本题共