四川省绵阳南山中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）.docx

四川省绵阳南山中学2024?2025学年高二下学期3月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知是定义在上的可导函数，若，则（????）

A． B． C．1 D．

2．已知等比数列的前项和为，若公比，，则（）

A．49 B．56 C．63 D．112

3．已知数列中，，若，则（）

A．4 B．5 C．6 D．7

4．数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（????）

A． B． C． D．

6．已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

7．若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（????）

A．2或 B． C． D．或

8．已知为非常数数列且，，，下列命题正确的是（????）

A．对任意的，，数列为单调递增数列

B．对任意的正数，存在，，，当时，

C．存在，，使得数列的周期为2

D．存在，，使得

二、多选题（本大题共3小题）

9．若数列满足，则下列说法正确的是（????）

A．存在数列，使得对任意正整数．都满足

B．存在数列，使得对任意正整数，都满足

C．存在数列，使得对任意正整数，都满足

D．存在数列，使得对任意正整数，都满足

10．已知，下列说法正确的是（????）

A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为

C．的极小值为 D．方程有两个不同的解

11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（????）

A．；

B．1225既是三角形数，又是正方形数；

C．；

D．，总存在，，使得成立；

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．

13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是.

14．小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第层住宅.

（参考公式及数据：，，，）

四、解答题（本大题共5小题）

15．记为首项为4的数列的前n项和，且是以首项为3，公比为的等比数列.

(1)求；

(2)求数列的通项公式；

(3)求数列的前n项和.

16．已知函数在处的切线为.

(1)求的值；

(2)求函数的单调区间与最大值.

17．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，，

数列满足

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围．

18．已知数列的前项和为满足，且，数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和；

(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数）

19．函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收玫于，定数称为数列的极限，记为．

(1)已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比．

(2)设数列满足，且，证明：．

(3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西