东北三省卓越联盟2025届高三第一次模拟检测数学试题_1.docx

东北三省卓越联盟·高三年级2025年1月第一次模拟检测

数学试卷

一、选择题（每题5分，共40分）

1.设集合，则（）

A. B. C. D.

2.已知复数满足，则复数的虚部为（）

A. B. C. D.

3.已知向量，则“”是“”的（）

A充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.圆的圆心到直线的距离为1，则

A. B. C. D.2

5.已知，，则（）

A.3 B. C. D.

6.等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（）

A. B. C. D.

7.已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（）

A. B.

C. D.

8.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）（参考数据：）

A3937万元 B.3837万元 C.3737万元 D.3637万元

二、多项选择题（每题6分，部分选对给部分分，有选错没有分，共18分）

9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（）

A.若，则

B.若，则.

C.若，则

D.若，则.

10.已知函数，若函数有6个不同零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（）

A. B.

C. D.6个零点之和是6

11.已知函数，则下列说法正确的是（）

A.当时，在上单调递增

B.若，且，则函数最小正周期为

C.若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3

D.若在上恰有4个零点，则的取值范围为

三、填空题（每题5分，共15分）

12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为__________.

13.已知数列前项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是__________.

14.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________.

四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分）

15.如图，已知半径是1，点在直径的延长线上，，点是上半圆上的动点，以为边作等边三角形，且点与圆心分别在的两侧.

（1）若，试将四边形的面积表示成的函数.

（2）求四边形的面积的最大值.

16.统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—.

年份代码

市场规模

，，，其中

参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

（1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）；

（2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差.

17.如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，.

（1）证明：；

（2）是在棱上否存在点，使得二面角为，若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由.

18.已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为.

（1）求抛物线的方程；

（2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；

（3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值.

19.已知函数．

（1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）若有唯一零点，求实数a的取值范围．

东北三省卓越联盟·高三年级2025年1月第一次模拟检测

数学试卷

一、选择题（每题5分，共40分）

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】A

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】D

【8题答案】

【答案】A

二、多项选择题（每题6分，部分选对给部分分，有选错没有分，共18分）

【9题答案】

【答案】AC

【10题答案】

【答案】BD

【11题答案】

【答案】ABD

三、填空题（每题5分，共15分）

【12题答案】

【答案】

【13题答案】

【答案】4

【14题答案】

【答案】##

四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分）

【15题答