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八上期末复习专题汇编——新定义

一．与等腰三角形相关（共3小题）

1．在同一平面内，若点与三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点是的巧妙点．

（1）如图1，求作的巧妙点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2）如图2，在中，，，求作的所有巧妙点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数是．

（3）等边三角形的巧妙点的个数有．

（A）2（B）6（C）10（D）12

2．在平面直角坐标系中，点与点关于过点且垂直于轴的直线对称．

（1）以为底边作等腰三角形，

①当时，点的坐标为；

②当且直线经过原点时，点与轴的距离为；

③若上所有点到轴的距离都不小于1，则的取值范围是．

（2）以为斜边作等腰直角三角形，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，上存在点，满足，直接写出的取值范围．

3．对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：

若点满足，则称为线段的“轴点”，其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”．

（1）如图1，点，的坐标分别为，，则在，，，中，线段的“近轴点”是．

（2）如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，．

①若为线段的“远轴点”，直接写出点的横坐标的取值范围；

②点为轴上的动点（不与点重合且，若为线段的“轴点”，当线段与的和最小时，求点的坐标．

二．几何类（共2小题）

4．对于及其边上的点，给出如下定义：如果点，，，，都在的边上，且，那么称点，，，，为关于点的等距点，线段，，，，为关于点的等距线段．

（1）如图1，中，，，点是的中点．

①点，关于点的等距点，线段，关于点的等距线段；（填“是”或“不是”

②关于点的两个等距点，分别在边，上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，；

（2）是边长为4的等边三角形，点在上，点，是关于点的等距点，且，求线段的长；

（3）如图2，在中，，．点在上，关于点的等距点恰好有四个，且其中一个是点．若，直接写出长的取值范围．（用含的式子表示）

5．如图1，在平面内取一个定点，自引一条射线，设是平面内一点，点与点的距离为，以射线为始边，射线为终边的的度数为．那么我们规定用有序数对表示点在平面内的位置，并记为．

例如，在图2中，如果，，那么点在平面内的位置，记为．

（1）如图3，如果点在平面内的位置记为，那么；；

（2）如图4，点，点在射线上，点，在平面内的位置分别记为，，点，，在同一条直线上，且．用等式表示与之间的数量关系，并证明．

三．坐标变换类（共2小题）

6．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得，那么点是图形的“阶关联点”

（1）若点是原点的“阶关联点”，则点的坐标为；

（2）如图，在中，，，．

①若点是的“0阶关联点”，把所有符合题意的点都画在图中；

②若点是的“阶关联点”，且点在上，求的取值范围．

7．在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为Ⅰ变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ变换，又有点作了Ⅱ变换，我们就称该图形为双变换图形．

例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ（2）变换，变换后的坐标是；点作Ⅱ（2）变换，变换后的坐标是．

请解决下面的问题：

（1）当时，

①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是；

②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标；

（2）已知点，，

①若线段是双变换图形，则的取值范围是；

②已知点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积．

四．旋转类（共1小题）

8．已知线段，如果将线段绕点逆时针旋转得到线段，则称点为线段关于点的“逆转点”，点为线段关于点的逆转点的示意图如图

（1）如图2，在正方形中，点为线段关于点的逆转点；

（2）在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，．点是线段关于点的逆转点，点（纵坐标为是线段关于点的逆转点．

①时，求点的坐标；

②当，直接写出的取值范围：．

五．对称类（共3小题）

9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴．给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．

（1）已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是；

（2）若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长；

（3）已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，求的取值范围．

10．在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线．点关于轴的对