【备战25年高考数学】题型08 10类球体的外接球及内切球解题技巧（解析版）.docxVIP

题型0810类球体的外接球及内切球解题技巧

（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定）

技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧

技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧

技法02墙角问题的应用及解题技巧

技法03对棱相等问题的应用及解题技巧

技法04侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧

技法05侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧

技法06二面角与球体综合的应用及解题技巧

技法07数学文化与球体综合的应用及解题技巧

技法08最值与球体综合的应用及解题技巧

技法09内切球综合的应用及解题技巧

技法10球心不确定类型的应用及解题技巧

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技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧

对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，它们的外接球半径往往可以直接计算得出，这在高考中是一个基本考察点，通常以选填的形式出现，需要加强练习。

球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝eq\f(4,3)πR3

底面外接圆的半径r的求法

（1）正弦定理（2）直角三角形：半径等于斜边的一半

（3）等边三角形：半径等于三分之二高（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

正棱锥类型

h?R2+

（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（????）

A． B． C． D．

思路详解：根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得，

则该圆锥的外接球表面积．故选：C．

1．（2024·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

思路详解：依题意，圆柱的底面半径为，高为，

因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为，

则，即，所以球的表面积为，故选：B.

2．（2024·四川凉山·三模）已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

思路详解：由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接，

则，底面，为正六棱锥的高，

所以，

因为正六棱锥的体积为，所以，即，

故点为外接球的球心，半径为2，

故外接球的体积，

故选：C．

1．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（????）

A． B． C． D．

解：球的直径是长方体的体对角线，所以，

解得，所以球的表面积为：

2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.

【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，

则，故该球的表面积为.

故选：C

3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．

故选：A．

??

技法02墙角问题的应用及解题技巧

墙角模型（由三个互相垂直的棱组成）能够直接扩展成一个长方体，然后通过长方体来求解其外接球的半径，从而实现快速解答。

墙角模型（三条直线两两垂直）

补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（???）

A． B． C． D．

思路详解：由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图：

故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，

故该三棱锥外接球的半径为.

由，得.

由于平面，所以该三棱锥的