高三一轮复习《计数原理》.docVIP

排列、组合和二项式定理

2015．12

一、高考要求

考试内容

要求层次

A

B

C

计数

原理

加法原理、

乘法原理

分类加法计数原理、分步乘法计数原理

√

用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题

√

排列与组合

排列、组合的概念

√

排列数公式、组合数公式

√

用排列与组合解决一些简单的实际问题

√

二项式定理

用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

√

二、本章定位

计数原理的课程设置意图：

必修三概率本章选修2－3第二章概率

1．必修3强调概率思想，防止复杂的组合计算干扰学生对概率思想的领悟；

2．本章为进一步研究概率做准备；

3．本章学习为学生提供解决问题的思想和工具；

“课标”对本章内容的定位是:用计数原理、排列与组合概念解决“简单的实际问题”。

所以，教学中一定要把握好这种定位，防止在技巧和难度上做文章(排列组合的求值化简证明题难度要控制,要重点做应用题)。

三、本章内容与要求

【计数】

1．分类计数原理

完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步计数原理

完成一件事，需要分成两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．排列

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数称为排列数．

(1)当mn时的排列称为选排列，排列数为Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)×…×(n－m＋1)＝eq\f(n！,?n－m?！)．

(2)当m＝n时的排列称为全排列，排列数为Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)×…×3×2×1＝n！．

规定0！＝1．

4．组合

从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合的个数称为组合数．

(1)组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1),m！)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)．

规定：Ceq\o\al(0,n)＝1．

(2)组合数的两个性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)．

注意：

1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．

2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来．

3．正确区分分堆问题和分配问题．

【二项式定理】

1．二项式定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…Ceq\o\al(n－1,n)abn－1＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N＋)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其通项公式为Tr＋1＝.

(a－b)n的展开式第r＋1项Tr＋1＝.

2．二项式系数的性质

(1)对称性：Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(n－2,n)，…，Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).

(2)增减性与最大值：二项式系数Ceq\o\al(k,n)，当keq\f(n＋1,2)时，二项式系数是递增的；当keq\f(n＋1,2)时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大．当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．

(3)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(4)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n–1.

注意:

1．通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk是第k＋1项，而不是第k项，注意其指数规律．

2．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时，要注意n与k的取值范围．

3．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式