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离散型傅里叶变换

离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，它将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。

一、定义与原理

离散傅里叶变换是将一个离散时间信号（通常是一个有限长序列）转换为其在频域的表示。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

二、物理意义

离散傅里叶变换的物理意义在于，它是对序列频谱的离散化。设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样。换句话说，DFT是将连续频谱X(ejω)在[0,2π]区间上等间隔地取出N个点来近似表示原信号的频谱。

三、基本性质

离散傅里叶变换具有多种基本性质，包括但不限于：

线性性质：若X1(n)和X2(n)是两个有限长序列，且Y(n)=AX1(n)+BX2(n)（A,B为常数），则Y(n)的N点DFT满足Y(K)=AX1(K)+BX2(K)，其中0≤K≤N-1。

循环移位特性：设X(n)为有限长序列，长度为N，则X(n)的循环移位序列Y(n)可以通过将X(n)以N为周期进行周期延拓得到新序列X(n)，再将X(n)左移或右移M位，最后取主值序列得到。DFT的一个重要特点就是隐含的周期性，这从循环移位特性中也可以体现出来。

共轭对称性：若X(n)是实数序列，则其DFT的共轭对称性质表现为X(N-n-1,k)=X(n,k)，其中表示共轭。

四、应用

离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以利用DFT将时域信号转换到频域进行分析和处理；在图像处理中，DFT可以用于图像的频域滤波和特征提取等；在通信系统中，DFT可以用于信号的调制和解调等。

五、计算方法

在实际应用中，通常采用快速傅里叶变换（FastFourierTransform，FFT）来高效计算DFT。FFT是一种基于分治思想的算法，可以将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，从而大大提高了计算效率。

离散傅里叶变换是一种重要的数学工具，在信号处理、图像处理、通信等领域发挥着重要作用。通过理解和掌握DFT的基本原理和性质，可以更好地应用这一工具来解决实际问题。