2025高考数学专项讲义第07讲立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题(学生版+解析).docxVIP

第07讲立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题

（9类核心考点精讲精练）

立体几何中的动点轨迹问题，是一个备受关注的重要专题，它在各级各类考试中占据一席之地，特别是在高考中亦常有所见。此类题型不仅是检验学生空间想象能力、思维能力和创新意识的有效手段，也是培养学生数学核心素养的重要途径。

在高考复习备考过程中，其试题常以选择、多选、填空等形式呈现，设计巧妙，注重知识间的交汇与融合，题型新颖灵活，旨在全面考查学生的综合素质。通过此类题型，不仅能够检验学生对各部分知识间的纵向和横向联系的掌握程度，还能够激发学生的创新意识和创新能力，渗透数学思想方法，充分体现新课程标准的要求和数学核心素养的培育目标。

然而，由于这类问题通常涉及较为复杂的空间几何体结构特征，对于许多学生而言，确实存在一定的挑战和难度。

知识讲解

方法点睛1：对于立体几何的综合问题的解答方法：

1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

2、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；

4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

方法点睛2：立体几何中的轨迹问题：

1、由动点保持平行性求轨迹.

（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.

2、动点保持垂直求轨迹.

（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.

3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹.

（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹.

4、由动点保持等角（或定角）求轨迹.

（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面；（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；（3）利用空间坐标系计算求轨迹.

5、投影求轨迹.

（1）球的非正投影，可能是椭圆面；（2）多面体的投影，多为多边形.

6、翻折与动点求轨迹.

（1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用空间坐标运算求轨迹.

考点一、轨迹形状

1．（浙江·高考真题）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是

A．直线 B．抛物线

C．椭圆 D．双曲线的一支

2．（北京·高考真题）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（）

A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．曲线的一支

3．（北京·高考真题）如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（????）

A．直线 B．圆

C．双曲线 D．抛物线

4．（天津·高考真题）如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（????）

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点

C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点

5．（重庆·高考真题）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（???）

A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

6．（浙江·高考真题）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是

A．圆 B．椭圆

C．一条直线 D．两条平行直线

7．（重庆·高考真题）若三棱锥的侧面内一动点P到底面的距离与到棱的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是（????）

A． B．

C． D．

8．（北京·高考真题）如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于M，N．设，，则函数的图象大致是（）

A．B．C．D．

1．（2023·浙江·一模）已知线段垂直于定圆所在的平面，是圆上的两点，是点在上的射影，当运动，点运动的轨迹（????）

A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形

2．（2023·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（????）

A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆

3．（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱中，，点是面上的动点，若点到点的距离是点到直线的距离的2倍，则动点的轨迹