第09讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（8类热点题型讲练）（原卷版）.docxVIP

第09讲拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）

知识点一：弦长公式

（最常用公式，使用频率最高）

知识点二：基本不等式

（当且仅当时等号成立）

题型01求椭圆的弦长

【典例1】（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知椭圆C：（）经过点，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长．

【典例2】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知椭圆．

(1)求实数的取值范围；

(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．

【变式1】（2024·广东·二模）已知是椭圆的左顶点，且经过点.

(1)求的方程；

(2)若直线与交于两点，且，求弦的长.

【变式2】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点是椭圆的弦的中点.

(1)求直线的方程

(2)求弦的长度

题型02求椭圆的弦长的最值（范围）

【典例1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．

【典例2】（2024·贵州毕节·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且到的距离分别为，满足，过点作两直线与分别交于两点，记直线与的斜率分别为，且满足.

(1)证明：；

(2)求的最大值.

【变式1】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，记动点的轨迹为．

(1)求轨迹的方程；

(2)若斜率为的直线交轨迹于，两点，求的长度的最大值．

【变式2】（2023·新疆阿勒泰·一模）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.

题型03根据椭圆的弦长求参数

【典例1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆，、分别为椭圆的左?右焦点，为椭圆上的任一点，的周长是，当轴时，.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与椭圆交于另一点．已知被圆截得的弦长为，求的面积．

【典例2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．

(1)求椭圆和抛物线的方程；

(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．

【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆方程，左右焦点分别，.离心率，长轴长为4.

(1)求椭圆方程.

(2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线的方程.

【变式2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）设椭圆的左?右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)求动点的轨迹的方程；

(3)设直线过椭圆的右焦点与椭圆相交于?两点，且，求直线的方程．

题型04求双曲线的弦长

【典例1】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设双曲线，斜率为1的直线l与交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点，

(1)求的方程；

(2)若l过点，求.

【典例2】（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.

(1)求的方程，并说明是什么曲线：

(2)若直线和曲线相交于两点，求.

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.

【变式2】（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求弦长

（2）已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于M、N两点，求线段的长

题型05根据双曲线的弦长求参数

【典例1】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.

【典例2】（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且.

(1)求E的方程；

(2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程

【典例3】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.

(1)求的离心率；

(2)若直线与交于两点，且，求.

【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段