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广州市培正中学2025届高三数学1月期末模拟考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合，，且，那么的值可以是

A． B． C． D．

2．不等式的解集为（???）

A． B． C． D．

3．在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（????）

A． B． C． D．

4．在中，，则（????）

A． B． C． D．

5．已知向量满足，且，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．

6．在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（????）

A．3 B．1 C．－3 D．－1

7．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

8．若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。

9．下列说法正确的有（????）

A．直线的斜率越大，倾斜角越大

B．直线在轴上的截距为

C．直线的斜率为

D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限

10．已知三次函数，则（????）

A．当时，函数为单调递增函数

B．当时，函数y=fx的图象关于对称

C．存在，使得函数y=fx图象关于直线对称

D．函数有三个零点的一个充分条件是

11．如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（????）

A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为

B．若，则点P的轨迹长度为

C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为

D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为.

13．若直线l：与直线的交点位于第二象限，则直线l倾斜角的取值范围是．

14．已知，则的最大值为．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）记为数列的前项和，已知．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

16．（15分）如图，AB是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周EQ\o\ac(?,AB)上靠近点A的三等分点，点E在线段上．

(1)求圆柱的表面积与体积；

(2)求三棱锥的体积；

(3)若D是的中点，求的最小值．

17．(15分)记锐角三角形的内角的对边分别为a,b,c，的面积为，已知.

(1)求角；

(2)若，求的取值范围.

18．（17分）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．

(1)求证：平面平面；

(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

19．（17分）已知函数，.

(1)当时，求曲线y=fx在点1,f1

(2)若函数是单调递增函数，求的取值范围；

(3)当时，是否存在三个实数且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

A

B

D

C

B

A

BD

BD

题号

11

答案

ACD

1．D

【详解】解：因为,故集合B能取遍一切小于等于1的实数，则m1,故选D

2．C

【分析】根据题意，由条件可得，即可得到结果.

【详解】，则，解得，故原不等式的解集为．

故选：C

3．A

【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据的实虚部可知对应的点的坐标.

【详解】因为，所以对应的点的坐标是，

故选：A.

4．B

【分析】根据正弦定理角化边可得，即可由余弦定理求解.

【详解】由正弦定理可得，即，

故，

由于，故，

故选：B

5．D

【分析】由数量积公式可得，由夹角公式即可得结果.

【详解】，

，故夹角为.

故选：D.

6．C

【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案.

【详解】因为，所以与垂直，

故，解得.

故选：C

7．B

【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.

【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：

由图可知，当或时，两图象相交，

若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：

当时，显然两图象之间不连续，