第2章 圆锥曲线【单元提升卷】（解析版）.docxVIP

第2章圆锥曲线【单元提升卷】

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．

一、填空题

1．已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．

【答案】

【分析】由双曲线的渐近线方程可得,求得椭圆的焦点,可得,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程．

【详解】解：双曲线的渐近线方程为,

由一条渐近线方程为,可得

椭圆的焦点为,，

可得

由可得,,

即双曲线的方程为,

故答案为:．

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题．

2．如果双曲线上的一点P到焦点的距离等于16，那么点P到另一个焦点的距离是______．

【答案】32

【分析】利用双曲线的定义求得正确答案.

【详解】双曲线的焦点在轴上，对应，

由于，所以，

所以.

故答案为：

3．若抛物线的焦点是，准线方程为，则抛物线的标准方程是______．

【答案】

【分析】根据抛物线的知识求得正确答案.

【详解】由于抛物线的焦点是，准线方程为，

所以抛物线开口向右，，

所以抛物线的标准方程为.

故答案为：

4．椭圆的短轴长为______．

【答案】4

【分析】由椭圆的方程可得，则，进而可得椭圆的短轴长．

【详解】解：因为椭圆，

所以，

所以，

所以椭圆的短轴长为，

故答案为：4.

5．设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____.

【答案】15

【分析】利用椭圆的定义得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|)求解.

【详解】如图所示：

在椭圆+=1中，a=5，b=4，c=3，

所以焦点坐标分别为F1(-3，0)，F2(3，0).

|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).

∵|PM|-|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，

∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5，

此时|PM|+|PF1|取最大值，最大值为10+5=15.

故答案为：15

6．若，，则以为直径的圆的标准方程是______．

【答案】

【分析】由已知求出圆的圆心和半径，利用圆的标准方程写出答案即可．

【详解】以为直径的圆的圆心为，半径为，则以为直径的圆的标准方程是

故答案为：

7．双曲线的焦点到其渐近线的距离是__________.

【答案】3

【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.

【详解】由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，

则焦点到其渐近线的距离是.

故答案为：3.

8．若椭圆C：的离心率是，一个顶点是，且，是椭圆上异于点的任意两点，，则直线过定点______．

【答案】

【分析】由椭圆的离心率和的坐标及，，之间的关系求出椭圆的方程；设直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由，所以，将两根之积代入可得直线恒过定点的坐标．

【详解】解：由题意可得，解得：，，

所以椭圆的方程为：；

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，

设，，，，

联立，整理可得：，

可得，，

则，，

因为，所以，

即：，，，所以，

代入可得：，

整理可得：，解得：或1，

且，是椭圆上异于点的任意两点，故，

所以直线的方程为：，恒过定点；

②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

则可得，

设，，

因为，所以，

所以，，，

即，解得：，

所以直线也过.

故答案为：．

9．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________.

【答案】或

【详解】设|F1F2|＝2c(c0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，

得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1||PF2|，

若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝

若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝，故曲线Γ的离心率等于或

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

10．若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）

①椭圆C的离心率为；???????????????????????②存在