第02讲 函数的切线问题（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docxVIP

第02讲函数的切线问题

【人教A版2019】

·模块一导数的几何意义

·模块二课后作业

模块一

模块一

导数的几何意义

1．函数在某点处的导数的几何意义

(1)切线的定义

在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线

P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.

(2)函数在某点处的导数的几何意义

函数y=f(x)在x=处的导数f()就是切线T的斜率，即==f().这就

是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f()(x-).

2．切线方程的求法

(1)已知切点时求切线方程的方法：

①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).

(2)切点未知时的解题通法：

①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f(x0)(x-x0)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【考点1求曲线切线的斜率（倾斜角）】

【例1.1】（2023下·高二课时练习）曲线fx=9x在点

A．45° B．60° C．135°

【解题思路】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案.

【解答过程】fx=

所以f3=-1.又切线的倾斜角α的范围为0

故选：C.

【例1.2】（2022上·河南·高三校联考阶段练习）已知fx=xex，过P

A．3e2 B．3e2 C．

【解题思路】设切点坐标为x0,x0

【解答过程】解：由fx=x

设切点坐标为x0,x

把点P12,0

解得x0=1或

故切线斜率为f

故选：C．

【变式1.1】（2023下·广东梅州·高二统考期中）已知函数fx的导函数为fx，f

A．fx1

C．fx3

【解题思路】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可求解.

【解答过程】依次作出函数fx在x

根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，f

故选：B.

【变式1.2】（2023下·湖北·高二校联考期中）点P在曲线y=2x3-3x+14

A．2π3,π B．0,π2

【解题思路】求导得y=6x2

【解答过程】解：由y=2x3

所以y∈-3

当tanα∈-3,0时，α

所以角α的范围是0,π

故选：B.

【考点2求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】

【例2.1】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线y=x3+1在点

A．y=3x+3

C．y=-3x-

【解题思路】应用导数的几何意义求解即可.

【解答过程】因为a3+1=2，所以a=1，即切点坐标为1,2，由fx=3x2，所以f

故选：B.

【例2.2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数fx=ln

A．y=-x B．y=-2ex

【解题思路】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.

【解答过程】因为f(x)=

设所求切线的切点为(x0,

由题知，1x0=f(

故所求切线方程为y=-

故选：C.

【变式2.1】（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数fx=x3-

A．y=x B．y=2x C．

【解题思路】设切点为t,t3-

【解答过程】设切点为t,t3-t

所以，所求切线方程为y-

将原点坐标代入所求切线方程可得2t3-t2

因此，所求切线方程为y=3

故选：C.

【变式2.2】（2023下·山东东营·高二统考期末）已知a为实数，函数fx=3x3+2ax2+2+a

A．11x-y

C．5x-11

【解题思路】由偶函数的定义确定参数a的值，再根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.

【解答过程】因为f

所以f

所以a=0，故fx

所以f1=5，

故曲线y=fx在点1,

即11x

故选：A.

【考点3已知切线（斜率）求参数】

【例3.1】（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）若直线x-y+a=0与曲线y

A．0 B．1 C．2 D．3

【解题思路】根据题意，求得y=1-sinx，可得y|x=

【解答过程】设直线x-y+a=0

由函数y=x+cosx

所以1-sinx0=1，可得

则y0=x

将切点(kπ,

可得kπ-k

当k=0时，可得a

故选：B.

【例3.2】（2023上·四川·高三南江中学校联考阶段练习）曲线y=x5-ax+1在x

A．-∞,4 B．-∞,3 C．

【解题思路】根据导数的几何意义即可求解.

【解答过程】设函数fx=x5-ax

故选：A.

【变式3.1】（2023下·西藏日喀则·高二统考期末）已知函数f