矩阵乘法运算及其几何意义课件(人教A版必修).pptVIP

矩阵乘法运算及其几何意义本课件将深入探讨矩阵乘法运算的定义、性质、运算规则以及几何意义，并通过实例解析其在坐标变换、线性变换和几何变换中的应用。我们将从矩阵乘法的基本概念出发，逐步探究其在几何图形中的应用，并最后引出仿射变换及其在计算机图形学中的重要意义。

矩阵乘法的定义定义矩阵乘法是一种将两个矩阵相乘的运算，得到一个新的矩阵。矩阵乘法只有在第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才可进行。运算规则设A为m×p矩阵，B为p×n矩阵，则它们的乘积AB为一个m×n矩阵，其中元素Cij由A的第i行元素与B的第j列元素对应相乘后求和得到。

矩阵乘法的性质结合律矩阵乘法满足结合律：(AB)C=A(BC)。分配律矩阵乘法满足左分配律和右分配律：A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC。非交换律一般情况下，矩阵乘法不满足交换律：AB≠BA。

矩阵乘法的基本步骤步骤一检查第一个矩阵的列数是否等于第二个矩阵的行数。如果相等，则可以进行乘法运算。步骤二将第一个矩阵的每一行元素与第二个矩阵的每一列元素对应相乘并求和。步骤三将所有求和结果排列成一个新的矩阵，该矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘法的运算规则矩阵与数相乘将数乘以矩阵的每个元素。单位矩阵单位矩阵I乘以任何矩阵A，结果仍为A：IA=A和AI=A。零矩阵零矩阵O乘以任何矩阵A，结果都为零矩阵：OA=O和AO=O。

矩阵乘法运算举例1A=[12;34]B=[56;78]AB=[1*5+2*71*6+2*8;3*5+4*73*6+4*8]AB=[1922;4350]

矩阵乘法运算举例2A=[123;456]B=[78;910;1112]AB=[1*7+2*9+3*111*8+2*10+3*12;4*7+5*9+6*114*8+5*10+6*12]AB=[5864;139154]

矩阵乘法运算举例3A=[10;01]B=[23;45]AB=[1*2+0*41*3+0*5;0*2+1*40*3+1*5]AB=[23;45]此例中，A为单位矩阵，所以AB等于B。

矩阵乘法的几何意义矩阵乘法在几何上表示线性变换，它可以将一个向量或一个点变换到另一个向量或另一个点。线性变换包括平移、旋转、缩放、反射等多种变换，这些变换可以通过矩阵乘法来表示。

矩阵乘法体现的变换旋转矩阵乘法可以表示旋转变换，例如将一个向量绕原点旋转一定角度。缩放矩阵乘法可以表示缩放变换，例如将一个向量沿某个方向拉伸或压缩。反射矩阵乘法可以表示反射变换，例如将一个向量关于某条直线进行反射。平移矩阵乘法可以表示平移变换，例如将一个向量平移到另一个位置。

矩阵乘法表示的坐标变换矩阵乘法可以用来表示坐标变换，例如将一个点从一个坐标系变换到另一个坐标系。坐标变换可以通过矩阵乘法来实现，矩阵中的元素表示坐标系的变换关系。

单位矩阵与恒等变换单位矩阵是一个特殊的矩阵，它表示恒等变换，即不改变向量或点的坐标。单位矩阵乘以任何向量或点，结果都等于该向量或点本身。

逆矩阵与逆变换逆矩阵是与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。逆矩阵表示逆变换，即将原变换的反向操作。例如，将一个向量旋转90度的逆变换是将其旋转-90度。

矩阵乘法的几何意义总结矩阵乘法在几何上表示线性变换，可以用来表示旋转、缩放、反射、平移等多种变换。矩阵乘法还可以用来表示坐标变换，将一个点从一个坐标系变换到另一个坐标系。单位矩阵表示恒等变换，逆矩阵表示逆变换。

线性变换的复合线性变换的复合是指将多个线性变换依次作用在一个向量或点上，得到最终的变换结果。例如，先将一个向量旋转90度，再将其缩放2倍，这便是一个线性变换的复合。

线性变换的复合性质结合律线性变换的复合满足结合律，即(T1°T2)°T3=T1°(T2°T3)。非交换律线性变换的复合一般情况下不满足交换律，即T1°T2≠T2°T1。

线性变换的逆变换线性变换的逆变换是指将原变换反向操作的变换。例如，将一个向量旋转90度的逆变换是将其旋转-90度。

坐标变换与矩阵相乘坐标变换可以用矩阵乘法来表示。将一个点在原坐标系中的坐标表示为向量x，将其变换到新坐标系中的坐标表示为向量y，则有y=Mx，其中M为坐标变换矩阵。

坐标变换的矩阵表示旋转变换旋转变换矩阵：M=[cosθ-sinθ;sinθcosθ]缩放变换缩放变换矩阵：M=[sx0;0sy]平移变换平移变换矩阵：M=[10tx