第2讲 平面向量的数量积及其应用4种题型（原卷版）.docxVIP

第2讲平面向量的数量积及其应用4种题型

【考点分析】

考点一：平面向量的数量积

①平面向量数量积的定义：

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积也叫内积．

记作，即=．

规定：零向量与任一向量的数量积为0．

②平面向量数量积的几何意义：

1.向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．

2.向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为

3.的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．

考点二：平面向量数量积的运算律

已知向量、、和实数，则：

①；

②；

③．

考点三：平面向量数量积的性质

设、都是非零向量，则

①

②当与同向时，；当与反向时，．

③或．

④．

⑤．

【题型目录】

题型一：平面向量的数量积运算

题型二：平面向量的模运算

题型三：平面向量的夹角运算

题型四：平面向量的投影

【典型例题】

题型一：平面向量的数量积运算

【例1】如果是两个共线的单位向量，则（????）

A． B． C． D．

【例2】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.

【例3】已知向量，满足，，则

A．4 B．3 C．2 D．0

【例4】已知边长为1的等边△ABC，，则（）

A． B．3 C． D．6

【例5】在中，，则为（????）.

A．4 B．3 C． D．5

【例6】在中，，，，则边上中线的长为_____.

【例7】在中，，，点满足，点为的外心，则的值为__________.

【例8】在中，为重心，，，则=________.

【例9】在中，，，．若，，且，则的值为___________．

【例10】（2021新高考2卷）已知向量_______．

【题型专练】

1.设向量与夹角的余弦值为，且，则（????）

A． B． C．3 D．-3

2.已知在中，为的中点，则（????）

A． B． C． D．

3.（多选题）如果都是非零向量，则下列判断正确的是（????）

A．若，则或

B．若，则

C．若，则

D．若同向，则

4．在平行四边形中，，，若，则______.

5．边长为2的正方形，E为的中点，则的值为___________．

6．在中，是边上的中点，且，，，，则__________．

7.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，，若b·c=0，则_____．

8.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则的值为．

9.已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________．

10.已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 （）

A． B． C． D．

11.已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（）

A．4 B．–4 C． D．–

12.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．

13.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是．

14.在△中，为△的外心，则等于

A． B．6 C．12 D．

题型二：平面向量的模运算

【例1】设为单位向量，且，则______________.

【例2】已知向量，的夹角为60°，，，则=．

【例3】已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题

：∈[0，）：∈(，]

：∈[0，）：∈(，]

其中真命题是

（A），(B)，(C)，(D)，

【例4】设，是两个非零向量

A．若，则

B．若，则

C．若，则存在实数，使得

D．若存在实数，使得，则

【例5】设向量满足，，则（）

A．1B．2C．3D．5

【例6】设，均为单位向量，则“”是“⊥”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【例7】已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||=．

【例8】若平面向量，满足：；则的最小值是．

【题型专练】

1．已知向量与的夹角为，则（????）

A．6 B． C．3 D．

2.已知向量，，且，则（????）

A．2 B． C． D．3

3．已知向量不共线，则“”是“的夹角为钝角”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知平面向量与的夹角为，若，，则（????）

A．2 B．3 C． D．4

5．已知，为单位向量.若，则（????）

A．2 B． C．4 D．

6．已知，为单位向量．若，则（