特征值与特征向量课件课件.pptVIP

关于特征值与特征向量课件第1页，共40页，星期日，2025年，2月5日一、定义我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念.第2页，共40页，星期日，2025年，2月5日定义7.3.1设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一个数?0，存在一个非零向量?，使得A?=?0?.那么?0称为A的一个特征值，而?称为A的属于特征值?0的一个特征向量.这里需要注意，特征值?0是数域P中的数量,特征向量?是非零向量.显然，零向量对任意的?0都满足A?=?0?，因此这不具有“特征”意义.第3页，共40页，星期日，2025年，2月5日二、几何意义在几何向量空间R2和R3中，线性变换A的特征值与特征向量的几何意义是：特征向量?(起点在坐标原点)与其像A?同向(或反向)，同向时，特征值?00，反向时，?00，且?0的绝对值等于|A?|与|?|之比值；征向量被线性变换变成0.如果特征值?0=0，则特第4页，共40页，星期日，2025年，2月5日例如：在R2中，向量绕原点按逆时针方向旋转?角的旋转变换S?，当0??时，对任意非零向量?R2，S?(?)与?都不共线(图7-8所示)??S?(?)O图7-8此时，S?没有实特征值；第5页，共40页，星期日，2025年，2月5日当?=?时，R2中任何非零向量?都与S?(?)共线，且S?(?)=-?(图7-9所示)，S?的特征值，而且任何非零向量?都是其特征向量.O?1S?(?1)?2S?(?2)图7-9所以，-1是第6页，共40页，星期日，2025年，2月5日如果?是线性变换A的属于特征值?0的特征向量，那么?的任何一个非零倍数k?也是A的属于?0的特征向量.因为从A?=?0?可以推出A(k?)=?0(k?).这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一个特征值.第7页，共40页，星期日，2025年，2月5日三、求法设V是数域P上的n维线性空间，?1,?2,…,?n是它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是A.又设?0是A的特征值，?是A的属于?0的一个特征向量，?在基?1,?2,…,?n下的坐标是x01,x02,…,x0n.则A?的坐标是第8页，共40页，星期日，2025年，2月5日?0?的坐标是因此A?=?0?相当于坐标之间的等式第9页，共40页，星期日，2025年，2月5日上式可进一步变形成这说明特征向量?的坐标(x01,x02,…,x0n)满足齐次方程组(?0E-A)X=0.由于??0，所以它的坐标x01,x02,…,x0n不全为第10页，共40页，星期日，2025年，2月5日零，即齐次方程组(?0E-A)X=0有非零解.我们知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零，即我们引入以下定义.第11页，共40页，星期日，2025年，2月5日定义7.3.3设A是数域P上一n级矩阵，?是一个数字.矩阵?E-A的行列式称为A的特征多项式，次多项式.这是数域P上的一个n第12页，共40页，星期日，2025年，2月5日上面的分析说明，如果?0是线性变换A的特征值，那么?0一定是矩阵A的特征多项式的一个根；反过来，如果?0是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根，即|?0E-A|=0，那么齐次线性方程组(?0E-A)X=0就有非零解.这时，如果(x01,x02,…,x0n)是方程组(?0E-