高考数学复习第8章立体几何第7讲空间角的计算.ppt

第7讲空间角的计算

课标要求考情风向标

1.能用向量方法证明在近年高考中,立体几何常常以锥体或

有关线、面位置关系的柱体为载体,命题呈现一题两法的新格

一些定理(包括三垂线局.一直以来立体几何解答题都是让广

定理).大考生又喜又忧.为之而喜是只要能建

2.能用向量方法解决立直角坐标系,基本上可以处理立体几

线线、线面、面面的夹何绝大多数的问题；为之而忧就是对于

角的计算问题,体会向不规则的图形来讲建系的难度较大,问

量方法在研究几何问题不能得到很好的解决.比较容易建系

题中的作用的就用空间向量(有三线两两垂直或面

面垂直的),否则还是利用传统的推理与

证明

1.异面直线所成的角

过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.

那么直线a′与b′所成的锐角或直角,叫做异面直线a与b所

成的角(或夹角),其范围是___(_0_°__,9_0_°__]_.

2.直线与平面所成的角

(1)如果直线与平面平行或者在平面内,则直线与平面所成

的角等于0°.

(2)如果直线和平面垂直,则直线与平面所成的角等于___9_0.°

(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条

斜线与平面所成的角,其范围是(0°,90°).

斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的

直线所成的一切角中最小的角.

3.二面角

从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从

二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的

两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是

直角的二面角叫做__直__二__面__角___.

4.点到平面的距离

点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距

离.求点到平面的距离通常运用等体积法,即构造一个三棱锥,

将点到平面的距离转化为三棱锥的高.

5.直线与平面平行,那么直线上任一点到平面的距离叫做

这条直线与平面的距离.

1.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能

作为平面γ的法向量的是(B)

A.(0,1,2)B.(3,6,9)

C.(－1,－2,3)D.(3,6,8)

解析：向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.

C

3.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1),b＝(5,6,4),

则平面α的一个法向量为(C)

A.(1,－1,1)B.(2,－1,1)

C.(－2,1,1)D.(－1,1,－1)

4.如图8-7-1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝BC＝2,

AA1＝1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_______.

图8-7-1

考点1线面所成角的计算

例1：(1)(2018年浙江)如图8-7-2,已知多面体ABC-A1B1C1,

A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC＝120°,A1A＝4,

C1C＝1,AB＝BC＝B1B＝2.

①证明：AB1⊥平面A1B1C1；

②求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

图8-7-2

②解：如图D93,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点

D,连接AD.

图D93

方法二,①证明：如图D94,以AC的中点O为原点,分

别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系

O-xyz.

图D94

(2)(2018年天津)如图8-7-3,在四面体ABCD中,△ABC

是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,

①求证：AD⊥BC；

②求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

③求直线CD