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5.1导数的概念
一、单选题
1．下列说法正确的是（????）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
【答案】D
【分析】结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A、B、C、D；进而可得正确选项.
【解析】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，
故选项A说法错误；
对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；
对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；
对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，
故选：D．
2．若函数在处的瞬时变化率是，则的值是（????）.
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】由导数的定义求出的值.
【解析】
当时，，∴，∴.
故选：A
3．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.
4．函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（????）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】直接代函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.
【解析】，
.
由题意，知，所以.
故选：A.
5．设函数存在导函数，且满足，则曲线在点处切线的斜率为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的定义及已知条件求，即可确定处切线的斜率.
【解析】因为，
所以.
故选：D.
6．自由落体运动的公式为，若，则下列说法正确的是（????）
A．是在0~1s这段时间内的速度
B．是1s到s这段时间内的速度
C．是物体在s这一时刻的速度
D．是物体从1s到s这段时间内的平均速度
【答案】D
【分析】代入解析式，化简，由平均速度的概念判断即可.
【解析】由平均速度的概念可知，，表示1s到这段时间内的平均速度，故D正确.
故选：D
7．已知函数在上有导函数，图象如图所示，则下列不等式正确的是（???）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意设函数，则，则函数为增函数，再利用一次函数的增减性即可得解.
【解析】解：设函数，
则，
则函数为增函数，
又，
则，
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题.
8．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性，可得，然后分别求得，最后可得直线方程.
【解析】由函数为奇函数
所以
由
所以
所以，则
所以
所以所求切线方程为，即
故选：B
9．已知在处可导，则等于（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由导数的定义结合得出答案.
【解析】因为，
所以
.
故选：D.
10．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（???????）
A．-4 B．-2 C．-1 D．4
【答案】A
【分析】将不等式转化为恒成立，表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.求导函数，进行参变分离得在内恒成立.由基本不等式可求得a的最小值.
【解析】解：在区间内任取两个实数，，且，
不等式恒成立，即不等式恒成立，
它表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，
即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.
所以在内恒成立，即在内恒成立.
当时，，则，当且仅当时等号成立，
所以，a的最小值为-4.
故选：A.
11．已知函数，其导函数记为，则（????）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】函数，分析其性质可求的值，再求并讨论其性质即可作答.
【解析】由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，，
所以.
故选：A.
12．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先设出切点坐标，然后结合题意得到关于a的等式即可确定的解析式的一个可能值.
【解析】由可得，由可得，
设公切线在上的切点坐标为，在上的切点坐标为，
利用导函数研究函数切线的性
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