重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题（解析版）.docx

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重难点专题01妙用奔驰定理解决三角形面积比问题

【题型归纳目录】

题型一：直接使用奔驰定理

题型二：三角形面积比问题

【方法技巧与总结】

奔驰定理解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.

注意：（1）在中，若为重心，则．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．

重心的向量表示：．

奔驰定理：，则、、的面积之比等于

奔驰定理证明：如图，令，即满足

，，，故.

【典型例题】

题型一：直接使用奔驰定理

【典例1-1】已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，

则，，

因此，，同理，

于是得，

又，即，由“奔驰定理”有，

则，而与不共线，有，，即，

所以.

故选：A

【典例1-2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】为三角形内一点，且满足，

，

．

，

故选：D．

【变式1-1】已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图，延长交于点，设，

易知，可得，

又，得，故，

可知，

同理，可得，

结合可得，

整理得成立，

而由题意得，故，

设即，，故，故C正确.

故选：C

【变式1-2】在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由D为上一点，则，则

，

当且仅当且，即，时等号成立，取得最小值.

则，则根据平面向量基本定理知，为靠近的三等分点，

则，则.

故选：B

题型二：三角形面积比问题

【典例2-1】已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故，即，

故，即，

故三点共线，且为靠近的四等分点，

设为中点，则，

??，故.

故选：A

【典例2-2】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（????）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【解析】如图，延长交于点，

设，则，

因为共线，

所以，解得，

所以，，

则，

由，

得，即，

所以，

所以，

所以.

故选：D.

【变式2-1】已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为与的面积之比为，易得.故，即，整理得.因为，且均不共线，故，解得

故选：D

【变式2-2】已知P是内部一点，且，则面积之比为（????）

A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1

【答案】B

【解析】设的面积为，

由，得，

有，

又，令，

则三点共线，且，

即点在上，且，

所以以为底，的高为的，

故，同理可得，，

所以.

故选：B

【强化训练】

1．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：

由，

故，

所以与的面积之比为，

故选：D．

2．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，所以，

设为的中点，由为的中点.则,

所以，则三点共线，且，如图.

所以,则点到的距离是点到的距离的倍.所以.

故选：C.

3．设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设点、、，

则，，，

由可得，解得，，

所以，，，因此，.

故选：D.

4．点P是内一点且满足，则的面积比为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，

过点C作交的延长线于点D，与交于点E．

，不妨设，

又，∴，由平面向量基本定理得

．

∵，∴，∴，

由得

设，则，，，

∴．

故选：A．

5．已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，化简得到，得出，得到点为中位线的靠近点的三等分点，再结合和，即可求解.根据平面向量的线性运算，

由，