第3章 圆锥曲线 单元综合检测（难点）（解析版）.docxVIP

第3章圆锥曲线单元综合检测（难点）

一、单选题

1．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】如图所示，过点作，垂足为.先证明是等边三角形，再求出，求出的值即得解.

【解析】解：如图所示，过点作，垂足为.

由题得,所以.

因为，所以是等边三角形.

因为是的中点，所以，

所以，所以.

所以.

所以

所以抛物线的方程是.

故选：C

2．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（????）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.

【解析】由题意得，的斜率为，

而的渐近线为，

由于直线与双曲线没有公共交点，如图，

所以，即，故，即，所以，

故，即.

故选：C.

3．若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.

【解析】记中点为，则，

由题意点在线段的中垂线上，

将坐标代入椭圆方程得

两式相减可得，

所以，得，

所以的中垂线的方程为，令得，

由题意，，故，所以

所以

故选：B.

4．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得三点共线，从而求得，由此可求得双曲线的离心率.

【解析】设，线段AB的中点，

则，两式相减得，

所以①，

设，线段CD的中点，同理得②，

因为，所以，则三点共线，

所以，将①②代入得：，即，

所以，即，

所以，

故选：D.

5．是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，结合题意可得①，设直线AB：并联立抛物线，应用韦达定理及①求参数b关于的关系式，并将直线化为，利用其过定点求x、y，即可确定坐标.

【解析】设，则，相减得，

，同理得：，?

为常数，，

，整理有，①

设直线AB：，代入抛物线方程得：，

，则，

代入①，得：，有，

代入AB的直线方程，得：，

，

，

直线过定点，则，解得：，即，

直线AB所过定点?.

故选：C.

6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】确定四边形为矩形，设，，根据椭圆定义和勾股定理得到，根据函数的单调性得到范围.

【解析】，故，故四边形为矩形.

设，，，设，

，，故

，

在上单调递减，故在上单调递减，

故，故.

故选：D.

7．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.

【解析】解：设，

过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，

则，

因为点为线段的中点，

所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，

因为，

所以在中，由余弦定理得，

所以，

又因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以，故.

所以的最大值为.

故选：C

【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得，，再求最值.

8．在平面直角坐标系中，，，，，角的平分线与P点的轨迹相交于I点．存在非零实数，使得过点A的直线与C点的轨迹相交于MN两点．若的面积为，则原点O到直线MN的距离为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件可知点C的轨迹为椭圆，容易验证直线MN不垂直与x轴，设，直线MN的方程为：，与椭圆方程联立，根据的面积为求出t，继而可求出结果．

【解析】设点，的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，

由，

知G为的重心，则G的坐标为，

由，知点P在角的平分线上，

又角的平分线与P点的轨迹相交于I点，因此点I为的内心，

如图，设角平分线交于，则，

故，由为角平分线可得，

而，故，故即,

因此，点C的轨迹是椭圆，点C的轨迹方程为．

若直线MN垂直于x轴，