4.4 数学归纳法（解析版）.docxVIP

4.4数学归纳法

一、单选题

1．用数学归纳法证明等式的过程中，当时等式左边与时的等式左边的差等于（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别写出与时等式的左边式子，再作差即可.

【解析】解：当时，等式左边，

当时，等式左边，

故当时等式左边与时的等式左边的差为.

故选:C.

2．函数，，…，，…，则函数是（????）．

A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

【答案】A

【分析】因为是奇函数，可得也是奇函数，再根据数学归纳法证明对任意的??，有??是奇函数.

【解析】易知是奇函数，，

，，满足，

所以也是奇函数，

假设??是奇函数，则??，

即也是奇函数，因此对任意的??，有??是奇函数，

故：也是奇函数.

故选：A

3．用数学归纳法证明：，，当时，左端应在的基础上加上（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别确定和时等式左端的式子，由此可得结果.

【解析】解：当时，等式左端为，

当时，等式左端为，

两式比较可知，增加的项为．

故选：C．

4．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】将代入不等式左边，比较两式即可求解.

【解析】当时，等式为，

当时，，

增加的项数为,

故选:B.

5．用数学归纳法证明等式，其中，，从到时，等式左边需要增乘的代数式为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.

【解析】当时,左边等于;

当时,左边等于

，

即左边等于；

所以左边增乘的项为；

故选：D.

6．数列满足，则以下说法正确的个数（????）

①

②；

③对任意正数，都存在正整数使得成立

④

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法可判断④．

【解析】因为，若，则，又，

则，又，∴，①正确；

由已知，又，∴，②正确；

由及①得，则，，∴，

显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；

(i)当时，显然成立，(ii)假设时，，则，又，

则，又，则，∴，

综上，可得时，，④正确．

故选：D．

【点睛】在解决不等式的证明问题中，本题用到了放缩法和数学归纳法，命题③通过放缩得到，进而得到即可判断；数学归纳法的应用主要是以下步骤，验证当时成立，假设时成立，推出时成立即可.

7．已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由数学归纳法的概念求解

【解析】当时，这三个平面将空间分成了8部分，

若时，平面将空间分成个部分，则再添加1个面时，与其他个面共有条交线，此条交线过同一个点，将该平面分成个部分，

每一部分将所在的空间一分为二，故．

故选：A

8．某个命题与正整数有关，如果当时该命题成立，那么可以推出时该命题也成立，现已知时该命题成立，那么（????）

A．时该命题成立

B．时该命题不成立

C．时该命题都成立

D．可能n取某个大于5的整数时该命题不成立

【答案】C

【分析】根据题意，得到时该命题成立，可推得时，该命题都成立，即可求解.

【解析】根据题意知，当时该命题成立，那么可以推出时该命题也成立，

因为时该命题成立，可依次推得时，该命题都成立.

故选：C.

9．用数学归纳法证明命题“若为奇数，则能被整除”，在验证了正确后，归纳假设应写成（????）

A．时，能被整除；

B．时，能被整除；

C．时，能被整除；

D．时，能被整除．

【答案】C

【分析】根据为奇数，由数学归纳法原则即可得到结论.

【解析】原命题中为奇数，归纳假设应写为：时，能被整除.

故选：C.

10．已知一个命题，这里，当，2，…，999时，成立，并且当时它也成立，下列命题中正确的是（????）

A．对于成立 B．对于每一个自然数成立

C．对于每一个偶数成立 D．对于某些偶数可能不成立

【答案】D

【分析】由题意得成立的条件，对选项逐一判断

【解析】由题意在时命题成立，在其他情况下不确定是否成立

故选：D

11．已知数列满足，且（为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程：

（1）当时，满足，命题成立；

（2）假设（为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立．由（1）（2）知，．

判断以下评述：（????）

A．猜想正确，推理（1）正确