3.3（附加3）圆锥曲线定点与定值问题（解析版）.docx

3.3（附加3）圆锥曲线定点与定值问题

一、单选题

1．已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，按和分类讨论，时，结合正切的二倍角公式求得值，从而得正确选项．

【解析】由题知.设，当时，因为，所以，所以，所以，即.

当时，，.

因为，所以.

将代入并整理得，由解得.

故选：A．

2．已知点在抛物线：上，，是抛物线的两条不过点的弦，且满足，，记直线，的交点为，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出的值，由条件可得，从而得出的关系，用表示出直线的方程，将的关系代入，可得出恒过定点，同理也恒过定点，从而得出答案.

【解析】点在抛物线：,则，则

所以：，设，，

由，

直线的斜率，

故直线的方程为，

即恒过定点，同理也恒过定点，故交点，，

故选：C.

3．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案．

【解析】设切点，点．

由题意，抛物线C的准线，且由，得，

则直线的方程为，即，

联立令，得．

由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立．

因为，，

则，即对任意实数恒成立，

所以，即，所以，

故选：D．

【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.

4．已知F是椭圆的右焦点，P是椭圆C上的点，设曲线C在点P处的切线l与x轴交于点Q，记坐标原点为O，直线的斜率为k，椭圆C的离心率为e，（????）

A．若直线轴，则 B．若直线轴，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】直线轴，不妨设点P在第一象限，，由此可推得，，该式不会恒等于1，故可判断A,B;若，设，根据过椭圆上一点处的切线方程的结论，可得切线方程，由此推出，即可推得，，判断C,D.

【解析】若直线轴，不妨设点P在第一象限，，

则，，

令，则，

即当时，等于1，当时，不等于1，故选项A，B错误；

若，设，则切线：，

则，

因为，

所以，，故C错误，D正确，

故选：D．

5．已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（????）

A．为定值 B．为定值

C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为

【答案】A

【分析】根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，求出点的坐标，可求得，即可计算出的值.

【解析】若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意；

由题意，，设直线的方程为，设点、，

联立可得，，

由韦达定理可得，则，

所以，，

线段的中点为，所以，直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，即点，

所以，，因此，.

故选：A.

6．是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，结合题意可得①，设直线AB：并联立抛物线，应用韦达定理及①求参数b关于的关系式，并将直线化为，利用其过定点求x、y，即可确定坐标.

【解析】设，则，相减得，

，同理得：，?

为常数，，

，整理有，①

设直线AB：，代入抛物线方程得：，

，则，

代入①，得：，有，

代入AB的直线方程，得：，

，

，

直线过定点，则，解得：，即，

直线AB所过定点?.

故选：C.

7．已知抛物线的焦点为，圆，过作直线，与上述两曲线自上而下依次交于点，当时，直线的斜率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先设，，则，，再根据抛物线的性质知，利用基本不等式求出最小值且等号成立条件可求出，，从而可得到，即可得到直线的斜率.

【解析】设，，则，.

∵，∴，

由抛物线的性质知，

∴，则，

∴.

又∵，

得，∴，

当且仅当时，，

此时，∴，∴，

∴，

又∵，

故.

故选：A

【点睛】本题考查了抛物线性质，以及基本不等式求最值时等号成立的条件，考查了学生的计算能力，属于较难题.

8．如图，P是椭圆第一象限上一点，A，B，C是椭圆与坐标轴的交点，O为坐标原点，过A作AN平行于直线BP交y轴于N，直线CP交x轴于M，直线BP交x轴于E.现有下列三个式子：①；②；③.其中为定值的所有编号是（????）

A．①③ B．②③ C．①② D．①②③

【答案】D

【分析】根据斜率的公式，可以得到的值是定值，然后结合已知逐一判断即可.

【解析】设，所以有，，

因此，