3.1.2 椭圆性质（精讲）（解析版）.docx

3.1.2椭圆性质（精讲）

考点一点与椭圆的位置关系

【例1】（2022·四川省资中县第二中学）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.

【一隅三反】

1．（2021·江西）连续掷两次股子，以先后得到的点数为点的坐标，那么点在椭圆内部的概率是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】连续掷两次骰子，构成的点的坐标有个，

满足的有，共2个，∴概率为：.故选：B.

2．（2021·全国·高二课时练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（????）

A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关

C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外

【答案】D

【解析】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.

把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋

＝4（cos2α＋sin2α）＝41，因此点P在椭圆外．故选:D.

3．（2022·云南）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据点与椭圆的位置关系即可求解.，所以故选：B.

考点二直线与椭圆的位置关系

【例2-1】（2022·全国·高二课时练习）设直线，椭圆．

（1）直线与椭圆有一个公共点，则m满足的条件是______．

（2）直线与椭圆有两个公共点，则m满足的条件是______．

（3）直线与椭圆没有公共点，则m满足的条件是______．

【答案】（1）????（2）????（3）或

【解析】由消去并化简得，

.

（1）当，即时，直线与椭圆有一个公共点.

（2）当，即时，直线与椭圆有两个公共点.

（3）当，即或时，直线与椭圆没有公共点.

故答案为：；；或

【例2-2】（2022·全国·高二课时练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（???????）

A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个

【答案】D

【解析】因为直线和圆没有交点，可得，即，

所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，

又因为椭圆，可得，

所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，

所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.

【例2-3】（2022·全国·高二课时练习）已知是椭圆：，直线l：，点P是椭圆上一点，则使得点P到直线l的距离为的点P的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】设直线：与椭圆相切，联立，得，

整理得，则该方程有且只有一个解，

由，得或，

所以的方程为或，

易知直线与直线l的距离为，

直线与直线l的距离为，

所以在直线l的右侧有两个符合条件的P点，

在直线l的左侧不存在符合条件的P点，故符合条件的点P有2个．故选：C．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）已知，则直线与椭圆的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能

【答案】A

【解析】因为，所以直线可化为，

所以，直线过定点，

因为点在椭圆内部，

所以，直线与椭圆的位置关系是相交.

故选：A

2．（2022·全国·高二课时练习）如果过的任意直线与椭圆恒有公共点，那么实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】要使过的任意直线与椭圆恒有公共点，则必在椭圆内或椭圆上，即①，

又为椭圆方程，则且②，

有①②可得，.

故答案为：

3．（2022·全国·高二课时练习）曲线上点到直线距离的最小值为______．

【答案】

【解析】令与相切，联立整理可得，

所以，可得，

当，此时与的距离，

当，此时与的距离，

所以曲线到直线距离的最小值为.

故答案为：

4．（2022·全国·高二专题练习）直线和曲线的位置关系为_____.

【答案】相交

【解析】曲线为：可得

直线恒过，由知定点在椭圆内部，

所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.

考点三直线与椭圆的弦长

【例3-1】（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程

整理可得：，设，

则，，根据弦长公式有：

=．故B，C，D错误.故选：A.

【例3-2】（2022·全国·高二课时练习）若过原点的直线与椭圆交于A、B两点，则的最大值为______．

【答案】

【解析】若过原点的直线斜率不存在时，则直线为，

将代入椭圆得，此时；

若过原点的直线斜率存在时，设直线的斜率为，方程可设为，

联立直线与椭圆方程：化简得：，

设，则

，

因为，所以，所以