高中数学(人教B版)必修二同步讲义第4章第05讲指数函数与对数函数的关系(学生版+解析).docxVIP

第05讲指数函数与对数函数的关系

课程标准

学习目标

1．知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a＞0且a≠1)

2．能利用反函数与原函数图像、单调性等性质的关系解决相关的问题．

1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，了解它们的图像间的对称关系．

2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．

3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．

知识点01反函数的概念

一般地，如果在函数yf(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数．此时，称yf(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数yf(x)的反函数的表达式，可以通过对调yf(x)中的x与y，然后从xf(y)中求出y得到．

【即学即练1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（）

①；②；③；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④

知识点02反函数的性质

一般地，函数yf(x)的反函数记作yf－1(x)．则

(1)yf(x)的定义域与yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域与yf－1(x)的定义域相同．

(2)yf(x)与yf－1(x)的图像关于直线yx对称．

(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．

【即学即练2】函数ylog3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是()

A．(0，＋∞) B．R

C．(－∞，0) D．(0,1)

知识点03求反函数的步骤

(1)求值域：由函数yf(x)求y的范围．

(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．

(3)得反函数：将x，y互换得yf－1(x)，注意定义域得反函数．

提醒：求反函数时，若原函数yf(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．

【即学即练3】函数yx＋3的反函数为__________．

知识点04指数函数与对数函数的关系

(1)指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数．

(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图像关于直线yx对称．

【即学即练4】已知a0，且a≠1，则函数yax与ylogax的图像只能是()

ABCD

题型01反函数存在的条件

【典例01】判断下列函数是否有反函数．

(1)f(x)eq\f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.

【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（）

A．B．C．D．

【变式2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（）

A．B．C．D．

【变式3】设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是．

【变式4】判断下列函数是否存在反函数．

(1)yeq\f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．

题型02求反函数的解析式

【典例2】（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数y=fx的反函数为，则y=fx的解析式为

【变式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则.

【变式4】（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为.

题型03反函数过定点问题

【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）函数（且）的反函数过定点．

【变式1】（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是.

【变式2】已知函数y=fx存在反函数y=f

【变式3】已知函数f?1x为函数fx的反函数，且函数fx?1

题型04根据反函数求参数

【典例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是、．

【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线

A．?e B．?1e C．e

【变式2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为

题型05反函数的定义域问题

【典例5】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习