高考数学（理）高分计划一轮高分讲义第10章计数原理概率随机变量及其分布107离散型随机变量及其分布列.docx

10.7离散型随机变量及其分布列

[知识梳理]

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；

②eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,p)i＝1).

3．常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布

若随机变量X服从两点分布，即其分布列为

X

0

1

P

1－p

p

，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

X

0

1

…

m

P

eq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))

eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))

…

eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

[诊断自测]

1．概念思辨

(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()

(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．()

(4)若随机变量X的分布列由下表给出，

X

2

5

P

0.3

0.7

则它服从两点分布．()

答案(1)√(2)√(3)√(4)×

2．教材衍化

(1)(选修A2－3P49A组T5)设离散型随机变量ξ

ξ

1

2

3

4

P

eq\f(1,10)

eq\f(2,10)

eq\f(3,10)

eq\f(4,10)

则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ\f(5,2)))＝________.

答案eq\f(3,10)

解析Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＝eq\f(3,10).

(2)(选修A2－3P49T3)从一副52张(去掉两张王)的扑克牌中任取5张，其中黑桃张数的概率分布公式是________，黑桃不多于1张的概率是________．

答案P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,13)C\o\al(5－k,39),C\o\al(5,52))(k＝0,1,2,3,4,5)0.633

解析P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,13)C\o\al(5－k,39),C\o\al(5,52))(k＝0,1,2,3,4,5)；

P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)≈0.222＋0.411＝0.633.

3．小题热身

(1)袋中有除标号不同外其余均相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能值的个数是()

A．25B．10C．9D．5

答案C

解析第一次可取号码为1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回地抽取，第二次也可取号码为1,2,3,4,5中的任何一个，两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.故选C.

(2)(2018·安康质检)设随机变量X的概率分布列为

X

1

2

3

4

P

eq\f(1,3)

m

eq\f(1,4)

eq\f(1,6)

则P(|X－3|＝1)＝________.

答案eq\f(5,12)

解析由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，

P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).

题型1离散型随机变量分布列的性质

eq\