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2023-2024学年福建省福州市闽侯第六中学高三第五次模拟考试数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为()
A.1 B. C.2 D.
2.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()
A. B.
C. D.
3.已知函数.若存在实数,且,使得,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
4.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()
A.2 B. C. D.
5.已知抛物线:,点为上一点,过点作轴于点,又知点,则的最小值为()
A. B. C.3 D.5
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题;“三百七十八里关,初行健步不为难,次后脚痛递减半,六朝才得到其关,要见每朝行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走了378里路,第一天健步走行,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地,求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为()
A.6里 B.12里 C.24里 D.48里
7.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()
A. B. C. D.
8.已知幂函数的图象过点,且,,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
9.如图所示的“数字塔”有以下规律:每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()
A. B. C. D.
10.设点,P为曲线上动点,若点A,P间距离的最小值为,则实数t的值为()
A. B. C. D.
11.函数与在上最多有n个交点,交点分别为(,……,n),则()
A.7 B.8 C.9 D.10
12.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有
A.72种 B.36种 C.24种 D.18种
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究,从其中一些数学用语可见,譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示,已知几何体高为,则该几何体外接球的表面积为__________.
14.过动点作圆:的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是__________.
15.已知复数,其中是虚数单位.若的实部与虚部相等,则实数的值为__________.
16.在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)分别为的内角的对边.已知.
(1)若,求;
(2)已知,当的面积取得最大值时,求的周长.
18.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程是(为参数,常数),曲线的极坐标方程是.
(1)写出的普通方程及的直角坐标方程,并指出是什么曲线;
(2)若直线与曲线,均相切且相切于同一点,求直线的极坐标方程.
19.(12分)如图,三棱台中,侧面与侧面是全等的梯形,若,且.
(Ⅰ)若,,证明:∥平面;
(Ⅱ)若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.(12分)已知函数.
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)求在区间上的最小值;
(3)在(1)的条件下,若,求证:当时,恒有成立.
21.(12分)已知函数,函数在点处的切线斜率为0.
(1)试用含
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