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板块六函数与导数
微专题24函数的图象与性质
高考定位1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体,考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性;2.利用函数的性质推断函数的图象;
3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集,综合性较强.
【真题体验】
1.(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是()
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
答案D
解析法一由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,所以x=eq\f(a,2)≥1,解得a≥2,故选D.
法二取a=3,则y=x(x-3)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,2)))eq\s\up12(2)-eq\f(9,4)在(0,1)上单调递减,
所以f(x)=2x(x-3)在(0,1)上单调递减,
所以a=3符合题意,排除A,B,C,故选D.
2.(2023·全国乙卷)已知f(x)=eq\f(xex,eax-1)是偶函数,则a=()
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案D
解析法一f(x)的定义域为{x|x≠0},
因为f(x)是偶函数,
所以f(x)=f(-x),即eq\f(xex,eax-1)=eq\f(-xe-x,e-ax-1),
即e(1-a)x-ex=-e(a-1)x+e-x,
即e(1-a)x+e(a-1)x=ex+e-x,
所以a-1=±1,解得a=0(舍去)或a=2.
法二f(x)=eq\f(xex,eax-1)=eq\f(x,e(a-1)x-e-x),f(x)是偶函数,又y=x是奇函数,
所以y=e(a-1)x-e-x是奇函数,
故a-1=1,即a=2.
3.(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示,则f(x)的解析式可能为()
A.f(x)=eq\f(5(ex-e-x),x2+2) B.f(x)=eq\f(5sinx,x2+1)
C.f(x)=eq\f(5(ex+e-x),x2+2) D.f(x)=eq\f(5cosx,x2+1)
答案D
解析法一由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.
对于A,f(x)=eq\f(5(ex-e-x),x2+2),定义域为R,f(-x)=eq\f(5(e-x-ex),x2+2)=-f(x),所以函数f(x)=eq\f(5(ex-e-x),x2+2)是奇函数,所以排除A;
对于B,f(x)=eq\f(5sinx,x2+1),定义域为R,
f(-x)=eq\f(5sin(-x),x2+1)=-eq\f(5sinx,x2+1)=-f(x),所以函数f(x)=eq\f(5sinx,x2+1)是奇函数,所以排除B;
对于C,f(x)=eq\f(5(ex+e-x),x2+2),定义域为R,
f(-x)=eq\f(5(e-x+ex),x2+2)=f(x),
所以函数f(x)=eq\f(5(ex+e-x),x2+2)是偶函数,
又x2+20,ex+e-x0,所以f(x)0恒成立,不符合题意,所以排除C;
分析知,选项D符合题意,故选D.
法二由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.
因为y=x2+2是偶函数,y=ex-e-x是奇函数,
所以f(x)=eq\f(5(ex-e-x),x2+2)是奇函数,故排除A;
因为y=x2+1是偶函数,y=sinx是奇函数,所以f(x)=eq\f(5sinx,x2+1)是奇函数,故排除B;
因为x2+20,ex+e-x0,所以f(x)=eq\f(5(ex+e-x),x2+2)0恒成立,不符合题意,故排除C;
分析知,选项D符合题意,故选D.
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do4(k=1))f(k)=()
A.-3 B.-2
C.0 D.1
答案A
解析因为f(1)=1,
所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,
令y=1,
得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),
所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),①
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1).②
由①②相加,得f(x+2)+f(x-1)=0,
故f(x+3)+f(x)=0,
所以f(x+3)=-f(x),
所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f
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