第五章 一元函数的导数及其应用（章末小结）-2022-2023学年高二数学同步高效课堂重难点讲练课件（人教A版2019选择性必修第二册）.pptxVIP

第五章一元函数的导数及其应用

第五章章末小结

榆次一中数学教研组

知识导图·明架构

题型探究·悟思路

拓展延伸·育素养

综合测试·知考向

目录

知识导图·明架构YUCINO.1MIDDLESCHOOL

导数在研究函数中的应用

导数的概念及其意义

元函数的导数及其应用

导数的运算

导数

题型1导数的运算问题

例1求下列函数的导数.

方法指导利用导数公式、导数的四则运算以及复合函数的求导法则求解即可.

题型探究·悟思路YUCINO.1MIDDLESCHOOL

榆次一中数学教研组2023届教学课件

榆次一中数学教研组2023届教学课件

[解析](1)∵

方法总结函数求导时要注意：(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数

进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度；(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.

题型2导数的几何意义

例2[2021年全国甲卷](1)曲线在点(-1,-3)处的切线方程为5x-y+2=0

(2)设曲线y=e×在点(0,1)处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的坐标为

(1,1)

[解析](1)当x=-1时，y=-3,故点(-1,-3)在曲线上.又,所以ylx=-1=5,故切线方程为5x-y+2=0.

(2)由y=e×知，曲线y=e×在点(0,1)处的切线斜率k₁=e⁰=1.

设P(m,n),又的导数

所以曲线在点P处的切线斜率

依题意知，k₁k₂=-1,

则点P的坐标为(1,1).

解得m=1或m=-1(舍去),所以n=1.

方法总结导数几何意义的应用主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意

义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x₁,y₁),则切线方程为y-y₁=f(x₁)(x-X₁),再由切线过点P(xo,yo)得yo-y₁=f(x₁)(xo-x₁).①

又已知y₁=f(x₁).②

由①②求出x₁,y₁的值，即求出了过点P(xo,yo)的切线方程.

题型3利用导数研究函数的单调性

例3设函数f(x)=a²x²+ax-3lnx+1,其中a0,讨论f(x)的单调性.

[解析]由题意知，函数的定义域为(0,+0),

因为a0,x0,所以2ax+30,

当时，f(x)0;当时，f(x)0.

所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为

方法总结函数的单调性与导数的关注点：(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义

域的子区间；(2)已知函数在某个区间上的单调性时，转化要等价；(3)分类讨论求函数的单调区间的实质是讨论不等式的解集；(4)求参数的取值范围时常用到分离参数法.

题型4利用导数求函数极(最)值

例4[2021年北京卷]已知函数

(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.

[解析](1)当a=0时，,则,故f(1)=1,f(1)=-4,

此时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.

(2)因为,所以1

由题意可得,解得a=4,

X

(-0,-1)

-1

(-1,4)

4

(4,+0)

f(x)

十

0

-

0

十

f(x)

7

极大值

极小值

7

所以函数f(x)的单调递增区间为(-o,-1)和(4,+0),单调递减区间为(-1,4).

当

时，f(x)0;当

所以f(x)max=f(-1)=1,

时，f(x)0.

列表如下：

故

方法总结(1)求极值时一般需确定f(x)=0的点和f(x)的单调性，对于常见的连续

函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，对应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大