难点与新考法07二次函数与线段、面积、角度问题（5大热考题型）-2025年中考数学一轮复习知识清单（新高考通用）原卷版.docxVIP

难点与新考法07二次函数与线段、面积、角度问题（5大热考题型）

题型一：抛物线与动直线交点问题

题型二：抛物线与动线段交点问题

题型三：二次函数与线段问题

题型四：二次函数与面积问题

题型五：二次函数与角度问题

题型一：抛物线与动直线交点问题

将二次函数和一次函数表达式联立,得到一元二次方程,根据一元二次方程根的判别式的值与0的大小关系来判断抛物线与直线的交点情况

b2-4ac0?抛物线与直线有两个交点;

b2-4ac=0?抛物线与直线有一个交点:

b2-4ac0?抛物线与直线没有交点

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·河南开封·二模）已知二次函数的图象经过点和，与轴的另一个交点为，与轴交于点．

(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；

(2)将二次函数的图象在点，之间的部分（包含点，）记为图象．已知直线：恒过点2,3，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围；

(3)在第（2）题的条件下，取最大值时，将直线向下平移，交抛物线于点Px1,y1和点Qx2,y

【中考模拟即学即练】

1．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根．

(1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围．

(2)已知二次函数（为常数）．

①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围．

②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．

2．（2024·江苏南通·一模）已知抛物线（m，n为常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，．

(1)求的值；

(2)如图，连接交于点，求证：；

(3)设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作轴，交直线于点N．由线段长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．

3．（2024·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点．一次函数的图象经过点，．

(1)求二次函数的解析式；

(2)若二次函数的图象与平行于轴的直线始终有两个交点，（点在点的左侧），为该抛物线上异于，的一点，点，的横坐标分别为，．当的值发生变化时，的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由；

(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，求出点的坐标．

4．（2024·广东广州·二模）已知二次函数的图象为抛物线C，一次函数的图象为直线l．

(1)求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）；

(2)若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值；

(3)当时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当为钝角三角形时，求m的取值范围．

题型二：抛物线与动线段交点问题

1.动线段在x轴上(点C在点D左侧)

交点情况

无交点

有一个交点

有两个交点

图示

满足条件

动线段CD在点A左侧或在点B右侧

点D(或点C)在AB之间

点C在点A左侧且点D在点B右侧

2.动线段在直线上(点C在点D上方)

交点情况

无交点

有一个交点

有两个交点

图示

满足条件

点D在点A上方或点C在点B下方

点D(或点C)在AB之间

点C在点A上方且点D在

点B下方

3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧)

交点情况

无交点

有一个交点

有两个交点

图示

满足条件

点C在点A下方或点C在点M上方

点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方

点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方

【中考母题学方法】

【典例2】（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．

(1)若，求抛物线的顶点坐标；

(2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；

(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·云南文山·二模）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．

(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；

(2)将点向左平移4个单位得到点H，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

2．（2024·云南昆明·三模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．

(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

3．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上．

(1)求点的坐标（用含的式子表示）．

(2