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勾股定理典型例题含答案

例题一：直角三角形边长问题

例题一：直角三角形边长问题

在一个直角三角形中，若其两个直角边的长度分别为6厘米和8厘米，试求该直角三角形的斜边长度。

在数学中，勾股定理是解决直角三角形边长问题的基石。根据勾股定理，直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，则有公式a2+b2=c2。

以本题为例，已知直角边a的长度为6厘米，直角边b的长度为8厘米。根据勾股定理，我们可以得到斜边c的长度。首先计算两个直角边的平方和，即62+82=36+64=100。然后，求平方根得到斜边c的长度，即c=√100=10厘米。

在实际应用中，这种边长问题在建筑设计、工程测量等领域有着广泛的应用。例如，在建造一个屋顶时，建筑师需要确保斜边的长度是准确的，以确保屋顶的稳定性。通过应用勾股定理，建筑师可以计算出斜边的长度，从而设计出合适的屋顶结构。此外，在体育竞赛中，跳高运动员需要根据比赛场地的情况，利用勾股定理来计算起跳点到横杆的距离，以便选择合适的起跳角度和力量分配。这些例子都展示了勾股定理在解决实际问题中的重要性。

二、解题步骤

解题步骤

(1)确定已知条件和求解目标。在解决直角三角形边长问题时，首先需要明确题目中给出的已知条件，例如直角三角形的两个直角边或斜边的长度。同时，确定求解目标，即求解未知的直角边或斜边长度。

(2)应用勾股定理进行计算。一旦确定了已知条件和求解目标，就可以应用勾股定理进行计算。根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。如果已知两个直角边的长度，可以将它们的平方相加，然后开平方根得到斜边的长度。反之，如果已知斜边和其中一个直角边的长度，可以通过减去已知直角边的平方，然后开平方根得到另一个直角边的长度。

(3)进行具体计算并化简结果。以一个具体的例子来说明，假设有一个直角三角形，其两个直角边的长度分别为5厘米和12厘米。要计算斜边的长度，首先计算两个直角边的平方和，即52+122=25+144=169。然后，开平方根得到斜边的长度，即斜边长度=√169=13厘米。如果需要化简结果，可以将结果以分数形式表示，例如13厘米可以表示为13/1。

在实际应用中，解题步骤可能更加复杂。例如，在一个实际问题中，可能需要考虑单位转换和测量误差。以下是一个更复杂的例子：

假设一个建筑工人在搭建一个直角三角形的框架时，测量得到两个直角边的长度分别为3.5米和4.2米。由于测量误差，这些长度可能有一定的误差，例如实际长度可能是3.45米和4.18米。在这种情况下，工人需要计算斜边的长度，并考虑测量误差的影响。

首先，计算两个直角边的平方和，即3.452+4.182。然后，分别计算两个长度加上和减去测量误差后的平方和，例如3.452+4.182+0.052和3.452+4.182-0.052。接着，分别开平方根得到斜边的长度范围，即斜边长度可能在某个范围内变化。

通过这种方法，工人可以确定斜边的长度范围，从而确保框架的稳定性和安全性。在实际操作中，可能还需要考虑其他因素，如材料强度和结构设计，以确保整个建筑的安全性。

例题二：直角三角形斜边长度问题

例题二：直角三角形斜边长度问题

在一个直角三角形中，已知其中一个直角边的长度为5厘米，斜边的长度为13厘米。求另一个直角边的长度。

在直角三角形中，斜边通常是三边中最长的一边。根据勾股定理，我们可以通过已知的两个直角边的长度来求解斜边，或者通过已知的斜边和其中一个直角边的长度来求解另一个直角边的长度。

在本例中，我们已知直角边和斜边的长度，需要求解另一个直角边的长度。设未知的直角边长度为x厘米，根据勾股定理，我们有：

x2+52=132

接下来，计算x的值。首先，计算132的值，即169。然后，将52的值，即25，从169中减去，得到144。最后，对144开平方根，得到x的值，即x=√144=12厘米。

在类似的问题中，勾股定理的应用非常广泛。例如，在建筑设计中，工程师可能需要计算一个直角三角形的斜边长度，以确保建筑结构的稳定性和安全性。在工程测量中，勾股定理同样被用来确定未知边的长度，以便进行精确的施工和规划。

此外，勾股定理也在日常生活中的各种情境中有着实际应用。比如，在家庭装修中，如果需要计算电视墙上的挂件距离电视的距离，可以通过勾股定理来计算。在体育竞技中，比如篮球运动员投篮时，可以通过勾股定理来估算最佳投篮角度和距离。

这些例子都表明，勾股定理不仅在数学理论中占据重要地位，而且在实际生活中也有着广泛的实用价值。通过熟练掌握和应用勾股定理，我们能够更好地解决各种与直角三角形相关的问题。

四、解题步骤

解题步骤

(1)确定已知条件和求解目标。在解决直角三角形斜边长度问题时，首