专题4.2 等差数列的概念【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.2等差数列的概念【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1等差数列的基本量的求解】 2

【题型2等差中项】 3

【题型3等差数列的通项公式】 4

【题型4利用等差数列的性质计算】 6

【题型5等差数列的单调性】 7

【题型6求等差数列中的最大（小）项】 9

【题型7等差数列的判定与证明】 11

【题型8等差数列的应用】 13

【知识点1等差数列的概念与通项公式】

1．等差数列的概念

(1)等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.

(2)对等差数列概念的理解

①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.

②由概念可知，如果-()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列.

③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，

那么这个数列不是等差数列.

④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数

列不是等差数列.

⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.

2．等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有

2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.

3．等差数列的通项公式

(1)等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.

(2)等差数列通项公式的变形

已知等差数列{}中的任意两项，(n,m,m≠n)，则

-=(n-m)d

4．证明数列是等差数列的主要方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值.

(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.

(3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论：

①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.

②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.

问题的最终判定还是利用定义.

【题型1等差数列的基本量的求解】

【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）已知等差数列an中，a2+a5=8，a2-a5=-6，则a1=（

A．-2 B．-1 C．0 D

【解题思路】由等差数列基本量的计算即可求解.

【解答过程】设公差为d，因为a2+a

所以a2=1,d

故选：B.

【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列an中，a1=3，公差为dd∈N+

A．2 B．3 C．4 D．5

【解题思路】利用等差数列的概念计算基本量即可.

【解答过程】由2023是该数列的一项，得2023=3+n-1

因为n∈N+，所以d是2020的约数，故d

故选：B.

【变式1-2】（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列an满足a3+a6=16，且

A．-1 B．0 C．1 D．

【解题思路】根据等差数列基本量运算求解即可.

【解答过程】设等差数列an的公差为d

因为a3+a

所以a3+a

故选：C．

【变式1-3】（23-24高二下·河南南阳·期末）若an是正项无穷的等差数列，且a3+a9=6，则

A．1，2 B．0，35 C

【解题思路】由a3+a9=6表示出a1，然后由a

【解答过程】由a3+a9=6

因为an

所以a10d≥0，所以

即an的公差d的取值范围是0

故选：D.

【题型2等差中项】

【例2】（23-24高二下·山东日照·期中）已知实数m是2和8的等差中项，则m=（???

A．±4 B．-4 C．4 D．5

【解题思路】根据等差中项的概念求值.

【解答过程】由题意：m=

故选：D.

【变式2-1】（23-24高二下·山东日照·期中）已知a=12+1，b=12

A．22 B．2 C．1 D．

【解题思路】先求解可得a+b

【解答过程】由已知可得，a+

设a，b的等差中项为m，

根据等差中项的定义，有m=

故选：B.

【变式2-2】（23-24高二下·四川达州·阶段练习）在等差数列an中，a4+a5

A．2 B．3 C．4 D．5

【解题思路】根据等差中项即可求解.

【解答过程】由a4+a5+

故选：C.

【变式2-3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n

A．8 B．6 C．4.5 D．3

【解题思路】运用等差中项概念及性质可解.

【解答过程】∵m+2n

∴3m+3n

∴2m