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重难点02一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】
【新高考专用】
【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】2
【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】3
【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】3
【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】4
【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】5
【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】6
一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中,“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内
容,这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来,其以覆盖知识点多、综合性强、解法
灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面,在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、
“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维能力
都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛,考察灵活,高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.
【知识点1一元二次不等式恒成立、能成立问题】
1.一元二次不等式恒成立、能成立问题
2
不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ax+bx+c0,它的解集
为R的条件为Error!
2
一元二次不等式ax+bx+c≥0,它的解集为R的条件为Error!
2
一元二次不等式ax+bx+c0的解集为∅的条件为Error!
2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种,一是在全集R上恒成立,二是在某给定区间上恒成
立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的
范围,谁就是参数.
22
①若ax+bx+c0恒成立,则有a0,且△0;若ax+bx+c0恒成立,则有a0,且△0.
②对第二种情况,要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数;一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求
谁的范围,谁就是参数;即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列
式求解.
4.常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理,具体如下:
(1)对任意的x∈[m,n],af(x)恒成立af(x)max;
若存在x∈[m,n],af(x)有解af(x)min;
若对任意x∈[m,n],af(x)无解a≤f(x)min.
(2)对任意的x∈[m,n],af(x)恒成立af(x)min;
若存在x∈[m,n],af(x)有解af(x)max;
若对任意x∈[m,n],af(x)无解a≥f(x)max.
【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】
2
‒2+40
【例1】(2023·江西九江·校考模拟预测)无论取何值时,不等式恒成立,则的取值范
围是()
A.(‒∞,‒2)B.(‒∞,‒4)C.(‒4,4)D.(‒2,2)
【变式1-1】(2023·山东潍坊·统考一模)“∈(‒
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