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§3曲面的第二基本形式3.1曲面的第二基本形式前面研究了曲面的内蕴几何，而与的曲面的形式无关，本节研究外在形式---曲面的弯曲性曲面在一点的弯曲性，自然地用曲面偏离此点的切平面来描述给出曲面S：上的曲线C：P为C上一点对应参数为s，Q为其邻近点（s+△s）pnQCM计算公式1所以可得计算公式2：因为定义：称为曲面的第二基本形式，其中L，M，N为曲面的弯曲系数。几何意义：曲面的第二基本形式近似地等于P的邻近点Q到P的切平面中距离的两倍例1求球面的第二基本形式所以第二基本形式02解：01对于曲面有其中：注1第二基本形式不是正定型：参数变换下最多差有一个符号：3.2曲面上曲线的曲率只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面在P点沿C方向的法曲率给出曲面S：及S上曲线C：P是C上一点对应参数为s，则对C有定义?设点P是曲面上曲线C上一点,k是C在点p的曲率,.则称为C在点p的曲率向量,称为在曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率.记为n曲面法曲率是曲面上点P和方向的函数同一点只要方向相同，则法曲率相同对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就是法曲率呢？只要即可，这就是法截线S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面上一点处沿切方向的法截面，法截面和曲面的交线就是P点处沿切方向的法截线n梅尼埃定理：曲面上曲线在给定点p处的曲率中心C就是与曲线具有相同切线的法截线在同一点p的曲线中心在曲线C的密切平面上的投影。例?在球面上验证梅尼埃定理:把梅尼埃定理中的取为一个球面上的小圆,取为与该小圆相切于点的大圆.则梅尼埃定理显然成立.3.3杜邦指标线曲面在一点处的杜邦指标线方程为法曲率是曲面上点P和方向的函数在P点沿方向dr取线段PN使得的点N的轨迹曲面在P点处的杜邦指标线两边平方得N平点01由曲面在一点处的杜邦指标线方程知是以P为中心的有心二次曲线02椭圆点03双曲点04抛物点05曲面上点的分类其切线曲面的方程为02由于03例:求证曲线的切线曲面上的点都是抛物点。证：设曲线01，所以曲面上的点都是抛物点。0401020304曲线上的曲线,如果它上面每一点的切方向都是渐近曲面的渐近方向和共轭方向方向,则称为渐近曲线.渐近曲线的方程是定义:如果P点是曲面的双曲点,则它的杜邦指标线有一对渐近线,我们把沿渐近线的方向称为曲面在P点的渐近方向.由解析几何中二次曲线的理论可知,这两个渐近方向满足方程05分别表示在P点的值.4.曲面的渐进线和共轭方向(1)??主要概念曲面在一点命题1如果曲面上有直线，则它一定是曲面上的渐进曲线。01证明:因为直线的曲率,所以沿直线方向的法曲率,即02因而直线是曲面的渐近曲线.03命题2曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲线的密切平面1当时,渐近曲线是直线,这时曲面的切平面过它,因此切平面又是密切平面.当曲面的法向量垂直于渐近曲线的主法向量,因此曲面的切平面除通过渐近曲线的切线外还通过主法向量,所以它又是渐近曲线的密切平面.2证明:沿渐近曲线有得到3如果曲面上的点都是双曲点,则曲面上存在两族渐近曲线,这两族渐近曲线、称为曲面上的渐近网.4
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