高中数学学案 　双曲线简单几何性质的综合应用.DOCXVIP

第二课时双曲线简单几何性质的综合应用

课标要求1.拓展双曲线的几何性质.2.能解决与几何性质有关的最值(范围)问题.3.利用双曲线的几何性质解决简单的实际问题.

【引入】双曲线上哪一点到中心的距离最小？哪一点到焦点的距离最小？

一、双曲线的几何性质的拓展

探究1点P为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一点，O为坐标原点，求|OP|的最小值.

提示设点P(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)－eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1(a＞0，b＞0)，则yeq\o\al(2,0)＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),a2)－1))＝eq\f(b2xeq\o\al(2,0),a2)－b2，|OP|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋\f(b2,a2)xeq\o\al(2,0)－b2)＝eq\r(\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)－b2)，由于x≤－a或x≥a，∴当x＝±a时，|OP|最小＝a.

探究2若P(x0，y0)为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一点，焦点F1(－c，0)，求|PF1|的长.

提示由eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)－eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1(a＞0，b＞0)，得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b2xeq\o\al(2,0),a2)－b2，|PF1|2＝(x0＋c)2＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋2cx0＋c2＋eq\f(b2xeq\o\al(2,0),a2)－b2＝eq\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)＋2cx0＋a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x0＋a))eq\s\up12(2)＝(ex0＋a)2，∴|PF1|＝|a＋ex0|，

当P在双曲线左支上时，|PF1|＝－(a＋ex0)，

当P在双曲线右支上时，|PF1|＝a＋ex0.

【知识梳理】

1.双曲线上到中心距离最小的点是双曲线的顶点.

2.焦半径公式，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上的点P(x0，y0)相对左、右焦点F1，F2的焦半径分别为|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|(绝对值内看焦点，左加右减，去绝对值看支，左负右正).

当点P在左支上，即x0≤－a时，|PF1|＝－(ex0＋a)，|PF2|＝－(ex0－a)；

当点P在右支上，即x0≥a时，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a.

类似地，可写出双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦半径公式(略).

3.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，

若点P在双曲线的左支上，则|PF1|最小＝c－a，|PF2|最小＝c＋a；

若点P在双曲线的右支上，则|PF1|最小＝c＋a，|PF2|最小＝c－a.

温馨提示当a＞b时，2a＞eq\f(2b2,a)；当a＝b时，2a＝eq\f(2b2,a)；当a＜b时，2a＜eq\f(2b2,a).

例1(多选)双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()

A.17 B.7 C.22 D.2

(2)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的通径eq\f(2b2,a)大于实轴长2a，则离心率e的范围是________.

答案(1)CD(2)(eq\r(2)，＋∞)

解析(1)设双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝eq\r(34)，

设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12＞a＋c＝5＋eq\r(34))，

∴点P可能在左支，也可能在右支，

由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，

得|12－|PF2||＝10，∵c－a＝eq\r(34)－5＜2，

∴|PF2|为22或2.

∴点P到另一个焦点的距离是22或2.

(2)由题意知，eq\f(2b2,a)＞2a，则b2＞a2，即b＞a，

∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)