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平面向量知识点及习题分章节

一、平面向量基础知识

1.向量的定义与表示

向量是具有大小和方向的量。在平面直角坐标系中，向量通常用带箭头的符号表示，如\(\vec{a}\)。向量的大小称为模，记作\(|\vec{a}|\)，向量的方向可以用角度或与坐标轴的夹角表示。

例题1：已知向量\(\vec{a}=(3,4)\)，求向量\(\vec{a}\)的模。

解答：向量\(\vec{a}\)的模为\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)。

2.向量的运算

（1）向量的加法：将两个向量的起点放在同一点，然后按照三角形法则将两个向量首尾相连，所得向量即为两个向量的和。

例题2：已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,1)\)，求\(\vec{a}+\vec{b}\)。

解答：\(\vec{a}+\vec{b}=(2+1,31)=(3,2)\)。

（2）向量的减法：将两个向量的起点放在同一点，然后按照三角形法则将两个向量首尾相接，所得向量即为两个向量的差。

例题3：已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,1)\)，求\(\vec{a}\vec{b}\)。

解答：\(\vec{a}\vec{b}=(21,3(1))=(1,4)\)。

（3）向量的数乘：将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量，其大小为原向量大小乘以实数的绝对值，方向与原向量相同或相反。

例题4：已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，求\(\vec{a}\cdot2\)。

解答：\(\vec{a}\cdot2=(2\cdot2,3\cdot2)=(4,6)\)。

3.向量的数量积（点积）

向量的数量积定义为两个向量的模与它们夹角的余弦值的乘积。设向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为\(\theta\)，则它们的数量积为\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta\)。

例题5：已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,1)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。

解答：首先计算两个向量的模，\(|\vec{a}|=5\)，\(|\vec{b}|=\sqrt{2}\)。然后计算它们的夹角余弦值，\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{2\cdot1+3\cdot(1)}{5\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)。所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}\)。

二、平面向量习题及解答

1.习题

（1）已知向量\(\vec{a}=(3,4)\)，求向量\(\vec{a}\)的模。

（2）已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,1)\)，求\(\vec{a}+\vec{b}\)。

（3）已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,1)\)，求\(\vec{a}\vec{b}\)。

（4）已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，求\(\vec{a}\cdot2\)。

（5）已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,1)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。

2.解答

（1）向量\(\vec{a}\)的模为\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)。

（2）\(\vec{a}+\vec{b}=(2+1,31)=(3,2)\)。

（3）\(\vec{a}\vec{b}=(21,3(1))=(1,4)\)。

（4）\(\vec{a}\cdot2=(2\cdot2,3\cdot2)=(4,6)\)。

（5）首先计算两个向量的模，\(|\vec{a}|=5\)，\(|\vec{b}|=\sqrt{2}\)。然后计算它们的夹角余弦值，\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{2\cdot1+3\cdot(1)}{5\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)。所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}\)。

三、平面向量应用

1.向量在几何中的应用

（1）向量的平