2025年中考数学复习： 与图形面积之比有关的线段比例问题.docx

与图形面积之比有关的线段比例问题

知识与方法

计算图形的面积常常用到以下知识：

(1)等底等高的两个三角形面积相等；

(2)等底的两个三角形面积的比等于对应高的比；

(3)等高的两个三角形面积的比等于对应底的比；

(4)等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积；

(5)三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；

(6)平行四边形的对角线平分它的面积.

熟悉如下基本图形(图1-2-45)：

典例精析

例1如图1-2-46,在△ABC中,D是AB上一点,∠1=∠2,求证:C

【简析】如果把AD,AB分别看作△ADC,△ABC的底，则这两个三角形的高相等，由此得ADAB=SADCSABC,就把SADC

例2如图1-2-47,在△ABC中，AD是角平分线，求证：AB

【简析】一是利用平行线构造两三角形相似，即构造“X”型两三角形相似，进而借助角平分线与平行线之间的位置关系构造等腰三角形，实现相似三角形的对应边成比例及相等线段使问题得到求证；二是借助角平分线的性质构造到角两边距离相等的线段，进而在等高的情况下利用面积之比等于对应底之比求证.

证法一:如图1-2-48,过点C作CE∥AB交AD延长线于点E,∴∠1=∠3,△ABD∽△ECD.

∴CE

∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.

∴AC=CE.

∴ABAC=

证法二:设△ABC中BC边上的高为h,则S△ABD=1

如图1-2-49,过点D分别

作DE⊥AB于E,DF⊥AC

于F,则S

DES

又∠1=∠2,

∴DE=DF.∴ABAC=

例3[数学经验]三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.

[经验发展]面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相等，则它们的面积比等于对应底边的比,如图1-2-50①,△ABC的边AB上有一点M，请证明：S

[结论应用]如图②，△CDE的面积为1,CDAC=14

[拓展延伸]如图③，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论证明：S

[迁移应用]如图④,在△ABC中,M是AB的三等分点AM=13AB,

【简析】[经验发展]过点C作CH⊥AB于H,依据三角形面积公式，即可得到结论.

[结论应用]连接AE，依据“如果两个三角形的高相等，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到△ABC与△CDE面积之间的关系.

[拓展延伸]依据“如果两个三角形的高相等，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到△ADC与△BDC面积之间的关系.

[迁移应用]连接BD，设S△ADM=a,即可得出S△BDM=2a,S△ACD=3a,S△BCM=8a,S△CDN=SBDN=1

解:[经验发展]如图1-2-51,过点C作CH⊥AB于H,

∴

[结论应用]如图1-2-52,连接AE,

∵

∴

又CE

∴

∴

又∵△CDE的面积为1,

∴△ABC的面积为12.

[拓展延伸]如图1-2-53,

∵M是AB上任意一点,

∴

∵D是CM上任意一点，

∴

即S

[迁移应用]512

∵M是AB的三等分点AM=1

∴SADM

∵N是BC的中点,

∴

设S△ADM=a,则S△BDM=2a,S△ACD=3a,S△ACM=4a,S△BMc=8a,S△BCD=6a,∴S△CDN=S△BDN=1

∴S四边形BMDN=5a,S△ABC=12a.

∴

进阶训练

1.如图1-2-55,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是.

2.如图1-2-56，下列方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四个图形中阴影部分的面积等于163的为

3.新概念定义

若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图1-2-57①,△ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质：如图①,

问题解决

如图②,已知在△ABC中,D为BC的中点,E为AD的中点,BE的延长线交AC于F.

(1)找出以BF为公共边的所有“共边三角形”.若△ABC的面积为45cm2,分别求出这些“共边三角形”的面积.

(2)求证:AF=

(3)若将“D为BC的中点”,改为“BD:DC=2:3”,则AF:CF=.

4.问题提出:如图1-2-58①,D,E分别在△ABC的边AB,AC上,连接DE,已知线段AD=a,DB=b,AE=c,EC=d,,则S△ADE,S△ABC和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢?

问题解决：探究一