2025版·《考点一遍过》高考文科数学考点18 平面向量的基本定理及坐标表示.pdf

专题18平面向量的基本定理及坐标表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意义.

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

一、平面向量基本定理

如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数

12

aee

λ，λ，使1122.其中，不共线的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向

1212

量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

二、平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一

个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a

都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐

标，y叫做a在y轴上的坐标.

三、平面向量的坐标运算

1．向量坐标的求

（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.



（2）设A（x，y），B（x，y），则AB=（x－x，y－y）.

11222121

2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a=（x，y），b=（x，y），则a＋b=（x+x，y+y），a－b=（x－x，y－y），λa=（λx，λy），

11222121121211

2222

|a|=x+y，|a＋b|=(x+x)+(y+y).

111212

3．平面向量共线的坐标表示

设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b⇔xy－xy=0.

11221221

4．向量的夹角



已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向

量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

考向一平面向量基本定理的应用

1．应用平面向量基本定理表示向量的实质

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

2．应用平面向量基本定理的关键点

（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．

（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底

表示出来．

（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平

行、相似等．

3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路

（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行

向量的运算．

（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的

向量表达式.

11

典例1如图所示，在