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专题12导数的应用
1.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式
函数一般不超过三次).
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式
函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
2.生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地,在某个区间(a,b)内:
(1)如果f(x)0,函数f(x)在这个区间内单调递增;
(2)如果f(x)0,函数f(x)在这个区间内单调递减;
(3)如果f(x)=0,函数f(x)在这个区间内是常数函数.
注意:(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;
(2)在某个区间内,f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件,而不是
必要条件.例如,函数f(x)x3在定义域(,)上是增函数,但f(x)3x20.
(3)函数f(x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f(x)0(f(x)0)在(a,b)内恒成立,且
f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,在区间内的个别点处有f(x)0,不影响函
数f(x)在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1.函数的极值
一般地,对于函数y=f(x),
(1)若在点x=a处有f′(a)=0,且在点x=a附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则称x=a为f(x)
的极小值点,f(a)叫做函数f(x)的极小值.
(2)若在点x=b处有f(b)=0,且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则称x=b为f(x)
的极大值点,f(b)叫做函数f(x)的极大值.
(3)极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值.
2.函数的最值
函数的最值,即函数图象上最高点的纵坐标是最大值,图象上最低点的纵坐标是最小值,对于最值,我
们有如下结论:一般地,如果在区间[a,b]上函数yfx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必
有最大值与最小值.
设函数fx在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求fx在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:
(1)求fx在(a,b)内的极值;
(2)将函数fx的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的
一个是最小值.
3.函数的最值与极值的关系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言;
(2)在函数的定义区间[a,b]内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个
(或者没有);
(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点;
(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数是求函数
最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是:
考向一利用导数研究函数的单调性
1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f(x)0(
f(x)0)在给定区间上恒成立.一般步骤为:
(1)求f′(x);
(2)确认f′(x)在(a,b)内的符号;
(3)作出结论,f(x)0时为增函数,f(x)0时为减函数.
注意:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
2.在利用导数求函
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