（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第01课 解三角形（原卷版）.docxVIP

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第01课解三角形

知识点一：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

；

；

．

常见变形

（1），，；

（2），，；

；

；

．

（2）面积公式：

（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）

知识点二：相关应用

（1）正弦定理的应用

=1\*GB3①边化角，角化边

=2\*GB3②大边对大角大角对大边

=3\*GB3③合分比：

（2）内角和定理：

=1\*GB3①

同理有：，．

=2\*GB3②；

=3\*GB3③斜三角形中，

=4\*GB3④；

=5\*GB3⑤在中，内角成等差数列．

知识点三：实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．

（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．

（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

（3）南偏西等其他方向角类似．

（4）坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．

【解题方法总结】

1、方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．

3、三角形中的射影定理

在中，；；．

题型一：正弦定理的应用

例1．在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（????）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

例2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（????）

A． B． C．8 D．4

变式1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（????）

A． B． C． D．

变式2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（????）

A． B． C．1 D．

变式3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（????）

A．4 B．6 C． D．

【解题方法总结】

（1）已知两角及一边求解三角形；

（2）已知两边一对角；．

（3）两边一对角，求第三边．

题型二：余弦定理的应用

例3．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（????）

A． B． C． D．

例4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（???）

A．0 B．1 C．2 D．

变式4．在中，角的对边分别为，且，则的值为（????）

A．1 B． C． D．2

【解题方法总结】

（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．

（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，

若余弦值

题型三：判断三角形的形状

例5．在中内角的对边分别为，若，则的形状为（????）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

例6．在中，若，则的形状为（????）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

变式5．已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（????）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形

变式6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（?????）

A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形 D．锐角三角形

变式7．设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（????）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形

【解题方法总结】

（1）求最大角的余